14.3 库仑定律

来源： 课堂笔记 §5.1.6

电的力定律描述点状/球状电荷间的吸引/排斥：

$$\boxed{{\displaystyle F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}}}$$

符号	含义	单位
$F_C$	库仑力	N
$Q_1,Q_2$	两个电荷	C
$r$	距离	m
${\epsilon }_0$	真空介电常数 $=8,85\cdot {10}^{-12}$	As/Vm

✎ 如何读这个公式？（逐个因子）

• $\propto Q_1\cdot Q_2$： 把一个电荷加倍，力加倍；把两个都加倍，力变四倍。合理：每个电荷都「感受」对方的场。
• $\propto 1/r^2$： 力随距离的平方衰减（见下方「为什么平方」）。
• ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}$： 只是一个让单位匹配的换算因子（${\epsilon }_0\dots$ 真空介电常数）。其中的 $4\pi$ 出现，是因为场散布在一个球面 $4\pi r^2$ 上。
• 符号： 同号电荷（$Q_1{Q}_2>0$）→ 相斥；异号（$Q_1{Q}_2<0$）→ 相吸。

✎ 为何分母是 $r^2$？（与万有引力定律完全相同的论证）

1. 一个电荷向各个方向均匀发出它的场。
2. 在距离 $r$ 处，这个场散布在一个球面 $O=4\pi r^2$ 上——它随 $r$ 的平方增长。
3. 距离加倍，面积变 $2^2=4$ 倍；同样多的「场量」摊在 4 倍面积上 → 每点只剩四分之一 → $F\propto 1/r^2$。

✎ 与万有引力定律结构相同（$\propto Q_1{Q}_2/r^2$）——但有两点不同：(1) 库仑力可吸可斥（电荷有正负），引力只能吸引（质量恒正）。(2) 对同样两个粒子，库仑力比引力强得多——所以原子/核内电力主导，宏观（行星、恒星）则引力主导（因为大物体整体中性，库仑力在那里相互抵消）。

✎ 算例——氢原子中电子与质子的吸引力（课堂例题）。 $r={10}^{-10}$ m（氢原子半径），$|Q_1|=|Q_2|=e$：

$$F_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{e^2}{r^2}=8,99\cdot {10}^9\cdot \frac{(1,6\cdot {10}^{-19}{)}^2}{({10}^{-10}{)}^2}\approx 2,3\cdot {10}^{-8}\text{N}$$

看似很小，但同样这两个粒子之间的引力只有约 ${10}^{-47}$ N——库仑力强了约 39 个数量级。正是这个力把电子「拴」在原子核旁。