11.4 开普勒三定律

来源： 课堂笔记 §7.4

开普勒对行星运动做出了三项重大发现，但无法给出物理解释。他依据的是**第谷·布拉赫（Tycho Brahe）**的观测数据。

✎ 第谷·布拉赫是谁——他测了什么？ 第谷（1546–1601）是望远镜之前最后一位伟大的天文学家。几十年间，他用巨大的墙象限仪（测角仪器）测量行星在天空中的位置——即它们相对恒星的角度——精度空前（约一角分）。尤其把火星的轨迹完整记录下来。开普勒继承了这批数据，去找能拟合它的曲线：圆轨道与火星数据对不上，而椭圆对得上。

直到牛顿，才用他的力学（向心力 = 引力）推导出开普勒第二、第三定律，把单纯的描述变成了解释。下面的推导正是如此。

开普勒第一定律

行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

这在今天看似理所当然，但并非如此：几千年来人们想当然地认为轨道是圆。开普勒打破了这一假设。

图：椭圆，焦点 $F_1,F_2$（太阳在 $F_1$），长半轴 $a$，短半轴 $b$，偏心率 $e$；近日点 = Perihel，远日点 = Aphel。

量	含义
远日点（Aphel）	轨道上离太阳最远的点
近日点（Perihel）	轨道上离太阳最近的点
$a$	长半轴
$b$	短半轴
$e$	偏心率——椭圆偏离圆形程度的度量；$e$ 越大椭圆越「扁长」（$e=0$ 即为圆）

开普勒第一定律手绘。

✎ 几千年来对圆轨道的执着，被福柯（米歇尔·福柯，20 世纪法国哲学家——注意不是摆实验的物理学家莱昂·傅科）称为「积极的无意识」——开普勒打破了它。

开普勒第二定律（面积定律）

由太阳指向行星的矢径 $r$，在相等时间内扫过相等的面积。

$$\frac{\mathrm{\Delta }{A}_1}{\mathrm{\Delta }{t}_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{A}_2}{\mathrm{\Delta }{t}_2}$$

$\mathrm{\Delta }{A}_1,\mathrm{\Delta }{A}_2\dots$ 扫过的面积；$\mathrm{\Delta }{t}_1,\mathrm{\Delta }{t}_2\dots$ 时间段。即：若 $\mathrm{\Delta }{t}_1=\mathrm{\Delta }{t}_2$，则 $\mathrm{\Delta }{A}_1=\mathrm{\Delta }{A}_2$。

结论：行星在近日点快、远日点慢——否则相等时间内无法扫出相等面积。

图：面积定律——远日处又窄又长的扇形与近日处又宽又短的扇形面积相等（时间相等）。

开普勒第二定律手绘。

逐步推导（牛顿用角动量守恒给出的解释）：

第 1 步——出发点：角动量守恒。 若无外力矩（引力始终指向太阳，不产生力矩），角动量守恒：

$$L=m\cdot v\cdot r=\text{常量}$$

$L\dots$ 角动量；$m\dots$ 行星质量；$v\dots$ 轨道速度；$r\dots$ 到太阳的距离。

第 2 步——考察短时间（$v$ 近似不变，轨迹≈直线）。 极短时间 $t$ 内 $v$ 几乎不变，行星近似走一段直线 $s$ 而非弧。代入 $v={\displaystyle \frac{s}{t}}$：

$$L=m\cdot \frac{s}{t}\cdot r=\frac{m\cdot r\cdot s}{t}$$

第 3 步——扫过的面积是一个三角形。 太阳（$F_1$）与行星两个相邻位置 $P_1,P_2$ 构成三角形。在这段短时间里，切向位移 $s$ 近似垂直于半径 $r$，故 $r$ 是高、$s$ 是底，面积：

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{r\cdot s}{2}⟹r\cdot s=2A_{\mathrm{△}}$$

第 4 步——把 $r\cdot s$ 代回角动量。 将 $r\cdot s=2A_{\mathrm{△}}$ 代入第 2 步：

$$L=m\cdot \frac{2A_{\mathrm{△}}}{t}=\text{常量}$$

第 5 步——解出「面积/时间」。 $L$ 与 $m$ 均为常量，故 ${\displaystyle \frac{A_{\mathrm{△}}}{t}}$ 也是常量：

$$\frac{A_{\mathrm{△}}}{t}=\frac{L}{2m}=\text{常量}$$

这正是面积定律：$\dfrac{A_1}{t_1} = \dfrac{A_2}{t_2} = \dfrac{L}{2m} = $ 常量——相等时间扫过相等面积。（开普勒只知数据、不知此关系；牛顿给出了它。）

✎ 刁钻追问：把引力突然「关掉」，面积定律还成立吗？ 成立！没有引力，行星沿直线匀速飞走；相等时间走过相等的线段 $ef=gh=ij$，而以太阳 $s$ 为顶点的三角形 $\mathrm{△}efs,\mathrm{△}ghs,\mathrm{△}ijs$ 底边等长、共用同一个高——面积仍然相等。这恰恰暴露了面积定律的本质：它只是角动量守恒的几何表述，与轨道是不是椭圆毫无关系（引力始终沿矢径方向、不产生力矩；把它关掉，角动量更是守恒）。

开普勒第三定律

两行星周期 $T$ 的平方之比，等于其长半轴 $a$ 的立方之比。

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M}=\text{常量}}}$$

符号	含义	单位
$T$	周期（转一整圈 $360°$ 所需时间）	s（务必用秒！）
$a$	轨道长半轴	m
$M$	被绕天体的质量	kg
$G$	引力常数	N·m²/kg²

逐步推导。 简化假设：轨道是半径固定的圆，即 $a=b=r$。

第 1 步——引入角速度。 它衡量单位时间扫过的角；转一整圈（$2\pi$）耗时 $T$：

$$\omega =\frac{\phi }{t}=\frac{2\pi }{T}$$

$\omega \dots$ 角速度（单位 rad/s，$360°=2\pi$）；$\phi \dots$ 扫过的角；$T\dots$ 周期；$v\dots$ 轨道速度。

第 2 步——关系 $v=\omega r$。 看转动体上两个标记：外侧标记在相同时间节拍里走过更长的弧。故同一角下 $v\propto r$，即：

$$v=\omega \cdot r$$

第 3 步——用 $\omega$ 表示向心力。 所需向心力为 $F_{zp}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$。代入 $v=\omega r$，即 $v^2={\omega }^2{r}^2$：

$$F_{zp}=\frac{m\cdot {\omega }^2{r}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$

第 4 步——平衡：向心力 = 引力。 引力提供向心力，即 $F_{zp}=F_G$：

$$m_2{\omega }^{2}r=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

（$m_2\dots$ 绕行者，如行星；$M=m_1\dots$ 被绕者，如太阳。）

第 5 步——约掉绕行者质量 $m_2$（两边都有）：

$${\omega }^{2}r=\frac{GM}{r^2}$$

第 6 步——两边除以 $r$（不是约掉，$r$ 移到右边）：

$${\omega }^2=\frac{GM}{r^3}$$

第 7 步——代入 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ 并平方 $({\omega }^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}})$：

$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}=\frac{GM}{r^3}$$

第 8 步——把常量与变量分边（交叉整理出 $\frac{T^2}{r^3}$）：

$$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

第 9 步——推广 $r\to a$（由圆到椭圆）：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$$

图：圆轨道上的转动体（半径 $r$，轨道速度 $v$）——由向心力 = 引力得出开普勒第三定律。

图：角速度（内侧 vs 外侧标记，$v=\omega r$）。

务必小心： 此式最一般地成立，只要有一个质量为 $M$ 的天体被绕行。借此首次可以仅凭绕行者的周期与轨道半径，测出被绕天体的质量 $M$。

被绕质量 $M$	银河系中心	太阳	地球	木星	月球
绕行者 $m$	银河系恒星	行星	月球、卫星	木卫	阿波罗飞船

对我们太阳系的行星，相应地有 $\dfrac{T_1^2}{a_1^3} = \dfrac{T_2^2}{a_2^3} = \dots = \dfrac{T_8^2}{a_8^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M_\odot} = $ 常量（$M_{\odot }$ 为太阳质量）。

✎ 算例（考纲明确要求「推导与计算」）： 用地球轨道求太阳质量：$T=1$ 年 $=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7$ s，$a=\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}$ m。把第三定律解出 $M$：

$$M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=\frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{3,156}\cdot {10}^7{)}^2}\approx 2\cdot {10}^{30}\text{kg}$$

周期务必换算成秒！（同样的算法：由月球轨道求地球质量，由银心附近恒星的轨道求中心黑洞的质量。）