11.4 Die drei Keplerschen Gesetze

Quelle: Mitschrift §7.4

Kepler machte drei wesentliche Entdeckungen zur Planetenbewegung, konnte sie aber nicht physikalisch erklären. Er stützte sich dabei auf die Messungen von Tycho Brahe.

✎ Wer war Tycho Brahe — und was hat er gemessen? Tycho (1546–1601) war der letzte große Astronom vor dem Fernrohr. Über Jahrzehnte vermaß er mit großen Mauerquadranten (Winkelmessgeräten) die Positionen der Planeten am Himmel — also ihre Winkel relativ zu den Fixsternen — und zwar so genau wie nie zuvor (auf etwa eine Bogenminute). Besonders die Bahn des Mars zeichnete er lückenlos auf. Kepler erbte diese Datenreihe und suchte die Kurve, die dazu passt: Eine Kreisbahn ließ sich mit den Marsdaten nicht in Einklang bringen — die Ellipse schon.

Erst Newton konnte mit seiner Mechanik (Zentripetalkraft = Gravitation) das zweite und dritte Keplersche Gesetz herleiten und damit aus einer bloßen Beschreibung eine Erklärung machen. Genau das zeigen die Herleitungen unten.

Erstes Keplersches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Das klingt heute selbstverständlich, war es aber nicht: Über Jahrtausende ging man wie selbstverständlich von Kreisbahnen aus. Kepler brach mit dieser Annahme.

Abbildung: Ellipse mit Brennpunkten $F_1,F_2$ (Sonne in $F_1$), großer Halbachse $a$, kleiner Halbachse $b$, Exzentrizität $e$; sonnennächster Punkt = Perihel, fernster = Aphel.

Größe	Bedeutung
Aphel	sonnenfernster Punkt der Bahn
Perihel	sonnennächster Punkt der Bahn
$a$	große Halbachse
$b$	kleine Halbachse
$e$	Exzentrizität — Maß für die Abweichung der Ellipse von der Kreisform; je größer $e$, desto „länglicher" die Ellipse ($e=0$ wäre ein Kreis)

Skizze: Erstes Keplersches Gesetz.

✎ Das jahrtausendelange Festhalten an Kreisbahnen nannte Foucault (Michel Foucault, französischer Philosoph des 20. Jh. — nicht zu verwechseln mit dem Physiker Léon Foucault vom Pendelversuch) ein „positives Unbewusstes" — Kepler durchbrach es.

Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)

Der von der Sonne zum Planeten zeigende Radiusvektor $r$ überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

$$\frac{\mathrm{\Delta }{A}_1}{\mathrm{\Delta }{t}_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{A}_2}{\mathrm{\Delta }{t}_2}$$

$\mathrm{\Delta }{A}_1,\mathrm{\Delta }{A}_2\dots$ überstrichene Flächen; $\mathrm{\Delta }{t}_1,\mathrm{\Delta }{t}_2\dots$ Zeitspannen. Also: ist $\mathrm{\Delta }{t}_1=\mathrm{\Delta }{t}_2$, dann ist $\mathrm{\Delta }{A}_1=\mathrm{\Delta }{A}_2$.

Folge: In Sonnennähe bewegt sich der Planet schnell, in Sonnenferne langsam — sonst könnten in gleicher Zeit nicht gleiche Flächen entstehen.

Abbildung: Flächensatz — ein schmaler, langer Sektor in Sonnenferne und ein breiter, kurzer in Sonnennähe haben gleiche Fläche (gleiche Zeit).

Skizzen: Zweites Keplersches Gesetz.

Herleitung Schritt für Schritt (Newtons Erklärung über die Drehimpulserhaltung):

Schritt 1 — Ausgangspunkt: Der Drehimpuls ist konstant. Wirkt kein äußeres Drehmoment (die Gravitation zeigt stets zur Sonne, erzeugt also keines), bleibt der Drehimpuls erhalten:

$$L=m\cdot v\cdot r=\text{konstant}$$

$L\dots$ Drehimpuls; $m\dots$ Masse des Planeten; $v\dots$ Bahngeschwindigkeit; $r\dots$ Abstand zur Sonne.

Schritt 2 — kurze Zeit betrachten ($v$ konstant, Bahn ≈ gerade Strecke). Über eine sehr kurze Zeit $t$ ändert sich $v$ kaum; der Planet legt statt eines Bogens näherungsweise eine gerade Strecke $s$ zurück. Mit $v={\displaystyle \frac{s}{t}}$ wird der Drehimpuls zu:

$$L=m\cdot \frac{s}{t}\cdot r=\frac{m\cdot r\cdot s}{t}$$

Schritt 3 — die überstrichene Fläche ist ein Dreieck. Sonne ($F_1$) und die zwei Planetenpositionen $P_1,P_2$ bilden ein Dreieck. Im kurzen Zeitschritt steht die Strecke $s$ (tangential) näherungsweise senkrecht auf dem Radius $r$, also ist $r$ die Höhe und $s$ die Grundseite. Seine Fläche:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{r\cdot s}{2}⟹r\cdot s=2A_{\mathrm{△}}$$

Schritt 4 — $r\cdot s$ im Drehimpuls ersetzen. Wir setzen $r\cdot s=2A_{\mathrm{△}}$ in den Ausdruck aus Schritt 2 ein:

$$L=m\cdot \frac{2A_{\mathrm{△}}}{t}=\text{konstant}$$

Schritt 5 — nach „Fläche pro Zeit" auflösen. $L$ und $m$ sind konstant, also ist auch ${\displaystyle \frac{A_{\mathrm{△}}}{t}}$ konstant:

$$\frac{A_{\mathrm{△}}}{t}=\frac{L}{2m}=\text{konstant}$$

Das ist genau der Flächensatz: $\dfrac{A_1}{t_1} = \dfrac{A_2}{t_2} = \dfrac{L}{2m} = $ konstant — in gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Kepler kannte die Daten, aber nicht diesen Zusammenhang; Newton lieferte ihn.)

✎ Fiese Nachfrage: Gilt der Flächensatz noch, wenn man die Gravitation plötzlich „abschaltet"? Ja! Ohne Gravitation fliegt der Planet geradlinig und gleichförmig davon; in gleichen Zeiten legt er gleich lange Strecken $ef=gh=ij$ zurück, und die Dreiecke $\mathrm{△}efs,\mathrm{△}ghs,\mathrm{△}ijs$ mit der Sonne $s$ als Spitze haben gleich lange Grundseiten und dieselbe Höhe — die Flächen bleiben gleich. Genau das entlarvt den Kern des Flächensatzes: Er ist nur die geometrische Form der Drehimpulserhaltung und hat mit der Ellipsenbahn nichts zu tun (die Gravitation zeigt stets entlang des Radiusvektors und erzeugt kein Drehmoment; schaltet man sie ab, bleibt der Drehimpuls erst recht erhalten).

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten $T$ zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen $a$.

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M}=\text{konstant}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$T$	Umlaufzeit (für einen vollen $360°$-Umlauf)	s (immer in Sekunden!)
$a$	große Halbachse der Bahn	m
$M$	Masse des umkreisten Körpers	kg
$G$	Gravitationskonstante	N·m²/kg²

Herleitung Schritt für Schritt. Vereinfachende Annahme: die Bahn ist ein Kreis mit festem Radius, also $a=b=r$.

Schritt 1 — Winkelgeschwindigkeit einführen. Sie misst den pro Zeit überstrichenen Winkel; ein voller Umlauf ($2\pi$) dauert $T$:

$$\omega =\frac{\phi }{t}=\frac{2\pi }{T}$$

$\omega \dots$ Winkelgeschwindigkeit (in rad/s, $360°=2\pi$); $\phi \dots$ überstrichener Winkel; $T\dots$ Umlaufzeit; $v\dots$ Bahngeschwindigkeit.

Schritt 2 — Zusammenhang $v=\omega r$. Betrachtet man zwei Markierungen auf einem rotierenden Körper, so legt die äußere im gleichen Zeittakt einen längeren Bogen zurück als die innere. Bei gleichem Winkel gilt daher $v\propto r$, genauer:

$$v=\omega \cdot r$$

Schritt 3 — Zentripetalkraft mit $\omega$ ausdrücken. Die nötige Zentripetalkraft ist $F_{zp}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$. Mit $v=\omega r$, also $v^2={\omega }^2{r}^2$:

$$F_{zp}=\frac{m\cdot {\omega }^2{r}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$

Schritt 4 — Gleichgewicht: Zentripetalkraft = Gravitation. Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft, also $F_{zp}=F_G$:

$$m_2{\omega }^{2}r=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

($m_2\dots$ umkreisender Körper, z. B. Planet; $M=m_1\dots$ umkreister Körper, z. B. Sonne.)

Schritt 5 — Masse des umkreisenden Körpers herauskürzen. $m_2$ steht auf beiden Seiten:

$${\omega }^{2}r=\frac{GM}{r^2}$$

Schritt 6 — durch $r$ dividieren (nicht kürzen — $r$ wandert nach rechts):

$${\omega }^2=\frac{GM}{r^3}$$

Schritt 7 — $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ einsetzen und quadrieren $({\omega }^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}})$:

$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}=\frac{GM}{r^3}$$

Schritt 8 — Konstanten und Variablen sortieren (über Kreuz nach $\frac{T^2}{r^3}$):

$$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

Schritt 9 — Verallgemeinerung $r\to a$ (vom Kreis zur Ellipse):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$$

Abbildung: rotierender Körper auf Kreisbahn (Radius $r$, Bahngeschwindigkeit $v$) — aus Zentripetalkraft = Gravitation folgt das dritte Keplersche Gesetz.

Skizze: Winkelgeschwindigkeit (innere vs. äußere Markierung, $v=\omega r$).

Höllisch aufpassen: Diese Formel gilt ganz allgemein immer dann, wenn ein Körper der Masse $M$ umkreist wird. Erstmals kann man damit die Masse $M$ des umkreisten Körpers bestimmen — allein aus Umlaufzeit und Bahnradius des umkreisenden Körpers.

umkreiste Masse $M$	Galaxienzentrum	Sonne	Erde	Jupiter	Mond
umkreisender Körper $m$	Sterne der Galaxie	Planeten	Mond, Satelliten	Jupitermonde	Apollo-Raumschiff

Für die Planeten unseres Sonnensystems gilt entsprechend $\dfrac{T_1^2}{a_1^3} = \dfrac{T_2^2}{a_2^3} = \dots = \dfrac{T_8^2}{a_8^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M_\odot} = $ konstant (mit $M_{\odot }$ = Sonnenmasse).

✎ Rechenbeispiel (der Themenpool verlangt ausdrücklich „Herleitung und Rechnung"): Sonnenmasse aus der Erdbahn: $T=1$ Jahr $=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7$ s, $a=\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}$ m. Drittes Gesetz nach $M$ auflösen:

$$M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=\frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{3,156}\cdot {10}^7{)}^2}\approx 2\cdot {10}^{30}\text{kg}$$

Umlaufzeit unbedingt in Sekunden umrechnen! (Gleiches Rezept: Erdmasse aus der Mondbahn, Masse des zentralen schwarzen Lochs aus den Sternbahnen ums Galaxienzentrum.)