2.4 Fluchtgeschwindigkeit

Quelle: Themenpool §2 · Mitschrift §7.7

Definition

Die Fluchtgeschwindigkeit $v_F$ ist die Geschwindigkeit, die ein Körper an der Oberfläche braucht, um dem Schwerefeld für immer zu entkommen.

Exakt: Startet ein Objekt mit genau $v_F$, so kommt es nach unendlich langer Zeit in unendlich weiter Entfernung mit der Geschwindigkeit 0 an. Es wird also immer langsamer, bleibt aber nie ganz stehen, solange es noch im Feld ist.

Abbildung: Tafelskizze — ein Körper startet links mit $v=v_F$ und wird auf dem Weg ins Unendliche ($r\to \mathrm{\infty }$) durch die Gravitation immer langsamer, bis $v=0$.

Skizzen zur Fluchtgeschwindigkeit.

Flugdynamik

Beim Start hat der Körper viel kinetische Energie. Während des Aufstiegs zieht die Gravitation dagegen → er wird langsamer. Weil die Gravitation mit der Entfernung abnimmt, wird auch die Abbremsung immer kleiner.

Herleitung über Energieerhaltung Schritt für Schritt

Wiederholung 6. Klasse: Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie und bleibt erhalten (siehe Energieerhaltung):

$$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\frac{m\cdot v^2}{2}+m\cdot g\cdot h$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$m$	Masse des Raumschiffs	kg
$v$	momentane Geschwindigkeit	m/s
$h$	Höhe über dem Start	m
$g$	Schwerebeschleunigung ($\approx 9,81$ an der Oberfläche)	m/s²

Schritt 1 — die zwei „Extremzustände" betrachten. Wir vergleichen Start und Ziel, weil die Gesamtenergie zwischen beiden gleich ist.

• Am Start ($h=0$): Das Raumschiff hat die maximale kinetische Energie und (mit dem einfachen Modell) $E_{\text{pot}}=0$. Also steckt die ganze Energie in der Bewegung:

$$E_{\text{ges}}=\frac{m\cdot v_F^2}{2}$$

• Im Unendlichen ($r\to \mathrm{\infty }$): Per Definition kommt das Raumschiff dort mit $v=0$ an → $E_{\text{kin}}=0$. Die ganze Energie steckt jetzt in der Lage:

$$E_{\text{ges}}=m\cdot g\cdot h$$

Schritt 2 — Energieerhaltung anwenden (gleichsetzen). Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, ist die Start-Energie gleich der Ziel-Energie:

$$\frac{m\cdot v_F^2}{2}=m\cdot g\cdot h$$

Schritt 3 — Raumschiffmasse $m$ herauskürzen. $m$ steht auf beiden Seiten → wir teilen durch $m$ (wieder ist die Masse egal):

$$\frac{v_F^2}{2}=g\cdot h$$

Schritt 4 — die 2 wegmultiplizieren. Beide Seiten mit 2 multiplizieren, damit links nur $v_F^2$ steht:

$$v_F^2=2\cdot g\cdot h$$

Schritt 5 — $g$ und $h$ durch die „echten" Größen ersetzen. An der Oberfläche gilt $g={\displaystyle \frac{G\cdot M}{r^2}}$ (aus $F_G=mg$ und dem Gravitationsgesetz), und wir setzen $h=r$ (Aufstieg über einen Planetenradius). Einsetzen:

$$v_F^2=2\cdot \frac{G\cdot M}{r^2}\cdot r$$

Schritt 6 — ein $r$ kürzen. ${\displaystyle \frac{r}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$:

$$v_F^2=\frac{2\cdot G\cdot M}{r}$$

Schritt 7 — Wurzel ziehen:

$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{r}}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$v_F$	Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche	m/s
$G$	Gravitationskonstante	N·m²/kg²
$M$	Masse des Zentralkörpers	kg
$r$	Radius des Zentralkörpers (Mittelpunkt → Start)	m

Merksatz: $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}$ — die Fluchtgeschwindigkeit ist genau das $\sqrt{2}$-fache der Kreisbahngeschwindigkeit auf gleicher Höhe.

✎ Warum gerade $\sqrt{2}$? Man stelle die beiden Formeln nebeneinander: Kreisbahn $v_{\text{Kreis}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ (§2.2, Schritt 3), Flucht $v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$ (§2.4, Schritt 6). Der einzige Unterschied ist der Faktor 2 unter der Wurzel. Teilt man die Gleichungen, fällt ${\displaystyle \frac{GM}{r}}$ weg und es bleibt ${\displaystyle \frac{v_F^2}{v_{\text{Kreis}}^2}}=2$, also $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}$.

Werte: Erde $v_F\approx 11,2$ km/s; Mond $v_F\approx 2,4$ km/s.

✎ Die Fluchtgeschwindigkeit der Erde ($v_F\approx 11,2$ km/s) heißt auch zweite kosmische Geschwindigkeit — die Geschwindigkeit, die nötig ist, um sich endgültig aus dem Schwerefeld der Erde zu lösen (vgl. die erste kosmische Geschwindigkeit $\approx 7,9$ km/s zum bloßen Umrunden). Sie ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer.

✎ Zur Vereinfachung in dieser Herleitung. Oben wurde $E_{\text{pot}}=mgh$ benutzt (mit konstantem $g$) und dann $h=r$ eingesetzt. Streng genommen ist $g$ über einen Aufstieg ins Unendliche nicht konstant, man dürfte $mgh$ also nicht einfach so verwenden. Dass trotzdem das richtige Ergebnis herauskommt, liegt daran, dass $g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$ (Oberfläche) mal $h=r$ den Wert ${\displaystyle \frac{GM}{r}}$ ergibt — und der ist genau gleich der mit der exakten (entfernungsabhängigen) potentiellen Energie berechneten Energiedifferenz $\left|\mathrm{\Delta }{E}_{\text{pot}}\right|={\displaystyle \frac{GMm}{r}}$ (siehe $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{r}}$ in §2.5). Sauber herleiten lässt es sich, indem man an der Oberfläche die Gesamtenergie gleich null setzt: ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_F^2-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=0$ liefert sofort dasselbe $v_F=\sqrt{2GM/r}$.

✎ Nachfrage: Warum liegen Startplätze möglichst nahe am Äquator, und warum startet man nach Osten? (z. B. Cape Canaveral, Kourou) Die Erde dreht sich von West nach Ost (darum geht die Sonne im Osten auf) — der Boden bewegt sich also schon nach Osten, am Äquator am schnellsten: ${\displaystyle \frac{2\pi R_E}{T}}\approx 0,46$ km/s. Wer nach Osten startet, nimmt diese Geschwindigkeit als „gratis Anzahlung" mit und spart Treibstoff; je näher an den Polen, desto langsamer dreht der Boden und desto kleiner der Bonus.

✎ Nachfrage: Was wäre, wenn an der Oberfläche eines Himmelskörpers $v_F$ die Lichtgeschwindigkeit $c_0$ übersteigt? Dann entkommt nicht einmal Licht — genau das ist die Definition eines Schwarzen Lochs. Setzt man $v_F=c_0$ in die Formel dieses Abschnitts ein, erhält man den Schwarzschildradius $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$ (siehe Thema 11 §11.7 Schwarze Löcher).