12.7 Halbwertszeit und Zerfallsgesetz

Quelle: Mitschrift §3.3.4–§3.3.6

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, nach der die Hälfte aller instabilen Kerne zerfallen ist. Je instabiler ein Isotop, desto kürzer $T_{1/2}$ — denn instabiler heißt höhere Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit (größeres $\lambda$), und $T_{1/2}=\ln 2/\lambda$ ist umgekehrt proportional dazu.

Es ist ein statistischer Begriff: sinnvoll nur bei sehr vielen Atomen (großes Ensemble). Es gibt einen Grund, warum ein Kern zerfällt (z. B. zu viel Energie), aber keinen Grund für den Zeitpunkt — der Zerfall ist komplett zufällig (Quantenzufall). Das ist kein menschliches Nichtwissen, sondern eine Eigenschaft der Natur: „die Natur selbst weiß nicht, wann ein Atom zerfällt".

Zerfallsgesetz:

$$N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t},\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

Symbol	Bedeutung
$N_0$	Ausgangsmenge (bei $t=0$)
$N(t)$	noch vorhandene Menge zur Zeit $t$
$T_{1/2}$	Halbwertszeit
$\lambda$	Zerfallskonstante (Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit), Einheit 1/s

✎ Woher kommt die Form $2^{-t/T_{1/2}}$? (Halbierungs-Denkweise, Schritt für Schritt) Die Definition der Halbwertszeit sagt: nach jeder Zeitspanne $T_{1/2}$ ist die Hälfte übrig. Wir zählen einfach die Halbierungen:

1. nach $0\cdot T_{1/2}$: $N=N_0$ (noch alles).
2. nach $1\cdot T_{1/2}$: $N=\frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-1}$.
3. nach $2\cdot T_{1/2}$: $N=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{N}_0=N_0\cdot 2^{-2}$.
4. nach $n\cdot T_{1/2}$ (also $n$ Halbierungen): $N=N_0\cdot 2^{-n}$.
5. Die Anzahl der Halbwertszeiten in der Zeit $t$ ist $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}$. Einsetzen → $\boxed{{\displaystyle N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}}}$. (Für nicht-ganzzahlige $n$ funktioniert die Potenz genauso.)

✎ Woher kommt $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}$? (Umschreiben von Basis 2 auf Basis $e$, Schritt für Schritt) Beide Schreibweisen ($2^{-t/T_{1/2}}$ und $e^{-\lambda t}$) müssen dasselbe $N(t)$ liefern. Wir rechnen die eine in die andere um:

1. Trick: jede Zahl lässt sich als $e$-Potenz schreiben — speziell $2=e^{\ln 2}$ (denn $\ln$ und $e^{(\cdot )}$ heben sich auf).
2. Damit wird $2^{-t/T_{1/2}}={\left(e^{\ln 2}\right)}^{-t/T_{1/2}}$.
3. Potenzregel $(e^a{)}^b=e^{a\cdot b}$ anwenden: $=e^{-\ln 2\cdot t/T_{1/2}}=e^{-\left(\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\right)t}$.
4. Vergleich mit $e^{-\lambda t}$: der Faktor vor $t$ muss übereinstimmen → $\boxed{{\displaystyle \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}}}$.
5. Was bedeutet $\lambda$ anschaulich? Es ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit für einen einzelnen Kern. Großes $\lambda$ = schneller Zerfall = kurze Halbwertszeit (sie sind umgekehrt proportional, $\ln 2\approx \mathrm{0,693}$). So passt die Aussage von oben zusammen: instabiler ⇒ größeres $\lambda$ ⇒ kürzeres $T_{1/2}$.

✎ Rechenrezept für alle Aufgaben: Restanteil $={\displaystyle \frac{N(t)}{N_0}}=2^{-t/T_{1/2}}$. Also (1) die Anzahl der Halbwertszeiten $n=t/T_{1/2}$ bilden, (2) $2^{-n}$ ausrechnen. Fertig.

✎ Rechenbeispiel 1 — O-15 (PET-Isotop, $T_{1/2}=2,03$ min). Eine Lieferung kommt 13 min zu spät. Wie viel ist noch da?

1. Anzahl Halbwertszeiten: $n={\displaystyle \frac{t}{T_{1/2}}}={\displaystyle \frac{13\text{min}}{2,03\text{min}}}\approx 6,40$.
2. Restanteil: $2^{-6,40}={\displaystyle \frac{1}{2^{6,40}}}$. Es ist $2^6=64$ und $2^{0,40}\approx 1,32$, also $2^{6,40}\approx 64\cdot 1,32\approx 84,5$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{84,5}}\approx \mathrm{0,011}8=\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{18}\mathbf{\%}$ → fast alles ist zerfallen. Deshalb ärgert sich der Forschungsleiter — das Isotop ist praktisch „weg" (kurze $T_{1/2}$ heißt: muss vor Ort am Zyklotron (ein ringförmiger Teilchenbeschleuniger, der geladene Teilchen auf hohe Energie bringt und damit kurzlebige Isotope direkt im Krankenhaus erzeugt) erzeugt und sofort genutzt werden).

✎ Rechenbeispiel 2 — Cs-137 und Sr-90 (typische Reaktorprodukte). Cs-137: $T_{1/2}=30,2$ a, gefragt nach 36 a.

1. $n={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$ Halbwertszeiten (also etwas mehr als eine Halbierung).
2. $2^{-1,19}={\displaystyle \frac{1}{2^{1,19}}}$, und $2^{1,19}\approx 2,28$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{2,28}}\approx \mathrm{0,438}=\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$ — nach 36 Jahren ist noch fast die Hälfte da. Sr-90 hat eine ganz ähnliche Halbwertszeit ($T_{1/2}\approx 28,8$ a), zerfällt also fast genauso langsam. ✎ Solche mittleren Halbwertszeiten (Jahrzehnte) sind besonders heikel: kurzlebige Isotope sind schnell weg, sehr langlebige strahlen nur schwach — aber „Jahrzehnte" heißt noch ordentlich Aktivität und lange Verweildauer in Umwelt und Körper.

✎ Rechenbeispiel 3 — I-131 (Schilddrüse, $T_{1/2}=8$ d), gefragt nach 40 d.

1. $n={\displaystyle \frac{40\text{d}}{8\text{d}}}=5$ — diesmal genau 5 ganze Halbwertszeiten (saubere Halbierungen).
2. $2^{-5}={\displaystyle \frac{1}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{32}}$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{32}}\approx \mathrm{0,031}3=\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{13}\mathbf{\%}$. Ob das gefährlich ist, hängt von der Ausgangsmenge $N_0$ ab — bei einem AKW-Unfall kann selbst $3\mathrm{\%}$ einer riesigen Menge noch viel sein.