11.1 Klassische Gravitationstheorie nach Newton

Quelle: Mitschrift §7.3.1 (Gedankenexperiment) · §7.3.2 (Gravitationsgesetz)

Wie das Weltbild zur Gravitation führte (Kurzchronologie)

Newtons Gravitationsgesetz ist der Endpunkt eines jahrtausendelangen Ringens um das richtige Weltbild. Wer im Hearing nach §11 gefragt wird, sollte die Kette in einem Satz nennen können — vor allem den oft vergessenen Schritt der Epizykel:

Etappe	Wer	Kernidee	Was blieb / fiel
Geozentrik	Aristoteles (4. Jh. v. Chr.)	Erde im Zentrum, alles dreht sich um sie	Bewegung der Planeten passt nicht zu reinen Kreisen
Epizykeltheorie	Ptolemäus (2. Jh.)	jeder Planet läuft auf einem kleinen Kreis (Epizykel), dessen Mittelpunkt einen großen Kreis (Deferent) um die Erde zieht	rettet die Geozentrik rechnerisch — erklärt sogar die rückläufige Bewegung (Planetenschleifen), wird aber immer verschachtelter
Heliozentrik	Kopernikus (1543)	Sonne im Zentrum, Erde ist ein Planet	Epizykel zunächst noch nötig (Kopernikus hielt an Kreisen fest)
Ellipsen	Kepler (1609/19)	Planeten laufen auf Ellipsen (1.–3. Gesetz)	Epizykel werden überflüssig — eine Beschreibung, noch keine Ursache
Gravitation	Newton (1687)	eine Kraft $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ erklärt Fallen und Umlaufen	macht aus Keplers Beschreibung eine Erklärung (§11.4)
Raumkrümmung	Einstein / ART (1915)	Gravitation ist gekrümmte Raumzeit, keine Kraft	erklärt, was Newton offenließ (§11.5–11.7)

✎ Worum es bei den Epizykeln genau ging: Vom geozentrischen Standpunkt aus vollführen die äußeren Planeten am Himmel zeitweise eine Schleife (scheinbare Rückwärtsbewegung, „Rückläufigkeit"). Ptolemäus erklärte das durch einen kleinen Kreis (Epizykel), auf dem der Planet umläuft, während dessen Mittelpunkt einen großen Kreis (Deferent) um die Erde beschreibt. Mit genügend ineinander geschachtelten Epizykeln ließ sich jede beobachtete Bahn nachbilden — das System wurde so aber immer komplizierter. Die Heliozentrik (Erde + Planeten umkreisen die Sonne) erklärt dieselben Schleifen viel einfacher als Überholvorgang, und Keplers Ellipsen machten die Epizykel endgültig überflüssig.

Der ausführliche Weltbilderstreit (Aristoteles → Ptolemäus → Kopernikus → Galilei → Kepler → Newton → Einstein) mit der kopernikanischen Wende ist in Thema 7 §7.5 beschrieben — hier nur als roter Faden zur Gravitation.

Newtons Gedankenexperiment vom Berg

Newton wollte die Bewegung am Himmel und auf der Erde vereinheitlichen (man dachte, sie folgten verschiedenen Gesetzen). Sein Bild: Wirft man einen Stein vom Berg, fällt er in einer Parabel; wirft man ihn stark genug, krümmt sich seine Bahn so, dass er nie auftrifft → er ist in einer Umlaufbahn. Damit ist die Gravitation die gemeinsame Ursache für Fallen und Umlaufen — die erste große Vereinheitlichung.

Abbildung: Newtons Bergkanone — mit wachsender Geschwindigkeit wird die Bahn von Parabeln (A, B) zu Kreis/Ellipse (C, D) und schließlich zur Hyperbel (E, Fluchtgeschwindigkeit).

Skizze zum Gedankenexperiment.

Das Gravitationsgesetz

$$\boxed{{\displaystyle F_G=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$F_G$	Gravitationskraft zwischen den Körpern	N
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$	N·m²/kg²
$m_1,m_2$	die beiden Massen	kg
$r$	Abstand der Massenmittelpunkte (nicht Oberflächen!)	m

Es gilt: $F_G\propto m_1{m}_2$ und $F_G\propto 1/r^2$ (doppelter Abstand → ein Viertel der Kraft).

✎ Warum ausgerechnet $r^2$? Weil die Kugeloberfläche $O_{\text{Kugel}}=4\pi r^2$ beträgt: Die „Wirkung" der Gravitation verteilt sich von der Quelle aus gleichmäßig auf eine Kugelfläche mit Radius $r$. Doppelter Abstand → vierfache Fläche ($2^2=4$) → dieselbe „Wirkung" verteilt sich auf die vierfache Fläche, an jedem Punkt bleibt nur ein Viertel übrig.

Abbildung: Zwei Punktmassen $m_1,m_2$ im Abstand $r$ ziehen sich mit entgegengesetzt gleichen Kräften an (Wechselwirkungsprinzip).

✎ Rechenbeispiel: Kraft zwischen Erde ($M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg, $R_E=6,37\cdot {10}^6$ m) und einem 72-kg-Menschen an der Oberfläche: $F_G\approx 706$ N (= sein Gewicht).

✎ Nachfrage: Warum darf man die ganze Erde als Punktmasse behandeln? Genau diese Frage plagte Newton jahrelang (Schalentheorem): Denkt man sich die Erde als kugelförmige Ansammlung vieler kleiner Massen, lässt sich zeigen, dass eine kugelsymmetrische Massenverteilung außerhalb exakt dasselbe Gravitationsfeld erzeugt, als wäre die gesamte Masse im Zentrum vereint — deshalb ist der Abstand der Massenmittelpunkte $r$ in der Formel legitim. (Gauß lieferte später das elegantere Argument: Die Zahl der „Feldlinien" durch jede umhüllende Kugelfläche bleibt gleich.) Zwei beliebte Nachfragen: Im Inneren einer Hohlkugel ist die Gravitation überall null; in einer tiefen Höhle wird $g$ kleiner (der Teil der Erdmasse über dem Kopf zieht nach oben), im Erdmittelpunkt ist $g=0$ — man schwebte wie im schwerelosen Raumschiff.