4.2 Cavendish-Experiment (1798)

Quelle: Themenpool §4 · Mitschrift §7.3.4

Frage: Wie groß ist die Gravitationskonstante $G$?

Hintergrund: Newton kannte das Gravitationsgesetz $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$, fand aber nie den Wert von $G$. ✎ Eine erste, grobe Bestimmung gelang über die Bergablenkung eines Pendels: Auf einem Berg hängt ein Pendel nicht exakt senkrecht, sondern neigt sich leicht zum Berg (die Bergmasse zieht es an) — daraus schätzte man $G$ bzw. die Erdmasse näherungsweise ab. Erst Cavendish maß $G$ präzise im Labor. (Sein eigentliches Ziel war übrigens, die Dichte der Erde zu bestimmen — die Gravitationskonstante fiel dabei mit ab.)

Aufbau (Torsionswaage): Zwei kleine Kugeln hängen an einem horizontalen Stab an einem dünnen Faden. Zwei große Kugeln werden danebengestellt; ihre Gravitation zieht die kleinen an → der Stab dreht sich → der Faden verdrillt sich.

Skizzen zum Cavendish-Aufbau.

Der Trick mit dem Spiegel: Ein Spiegel am Stab wirft einen Lichtstrahl auf eine weit entfernte Wand. Eine winzige Drehung des Stabs wird so zu einer großen Wanderung des Lichtflecks — sonst wäre die Bewegung unsichtbar. (Geometrisch ein gleichschenkliges Dreieck: kleiner Winkel am Spiegel → großer Ausschlag an der Wand.) ✎ Zusätzlich verdoppelt der Spiegel den zu messenden Winkel: Dreht er sich um $\mathrm{\Theta }$, dreht sich der reflektierte Strahl um $2\mathrm{\Theta }$ (Reflexionsgesetz) — leichter zu messen. Ein Drehteller erlaubt eine zweite Messung in Spiegelstellung → doppelter Verdrillungswinkel → höhere Genauigkeit.

Abbildung: Cavendish-Torsionswaage — zwei kleine Kugeln am Querstab werden von zwei großen Kugeln angezogen; ein Lichtstrahl wird am Spiegel reflektiert.

Abbildung: Geometrie des gleichschenkligen Dreiecks (Spiegel → Wand) — eine winzige Winkeländerung am Spiegel wird zu einer großen Auslenkung des Lichtflecks.

Physik: Die kleinen Kugeln nähern sich nicht beliebig weit an, weil die rücktreibende Hooke'sche Kraft (die Rückstellkraft eines elastisch verformten Körpers, die proportional zur Auslenkung wächst — hier zum Verdrillungswinkel des Fadens) des verdrillten Fadens die Drehung bremst. Im Gleichgewicht gilt:

$$F_H=F_G$$

Parallelmessung: Cavendish eicht den Faden separat mit einer Federwaage (welche Kraft dreht ihn um welchen Winkel?) → er kennt $F_H$ als Funktion des Winkels. Dabei darf er große Winkel verwenden und auf kleine extrapolieren, weil die Hooke'sche Kraft linear ist.

Abbildung: $F_H(\alpha )$-Diagramm der Parallelmessung — lineare Gerade, daher Extrapolation auf kleine Winkel erlaubt.

✎ Worin liegt die eigentliche Schwierigkeit? Die Gravitationskraft zwischen den Kugeln ist winzig (Größenordnung ${10}^{-7}$ N — weit weniger als das Gewicht eines Sandkorns). Jeder Luftzug, jede Erschütterung und schon kleine Temperaturunterschiede (Luftströmungen!) übertönen sie. Cavendish kapselte den Apparat deshalb in einen geschlossenen Kasten und las von außen mit einem Fernrohr ab. Der Spiegel-Trick und der Drehteller sind Antworten auf genau dieses Problem: ein extrem schwaches Signal sichtbar und wiederholbar machen.

Auswertung Schritt für Schritt

✎ Hier wird gezeigt, wie aus dem Gleichgewicht $F_H=F_G$ der Wert von $G$ herausgerechnet wird — der Schritt, der im Quellmaterial nur als Ergebnis steht.

Schritt 1 — was Cavendish kennt und was er sucht. Über das Gleichgewicht ist die Gravitationskraft zwischen den Kugeln messbar: $F_G=F_H$, und $F_H$ ist aus der Federwaagen-Eichung bekannt. Die Massen $m_1,m_2$ (kleine und große Kugel) und ihr Abstand $r$ sind ebenfalls bekannt. Unbekannt ist allein die Gravitationskonstante $G$.

Schritt 2 — Gravitationsgesetz hinschreiben. Die anziehende Kraft zwischen den beiden Kugeln ist:

$$F_G=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

Schritt 3 — nach $G$ auflösen. Wir wollen $G$ allein auf einer Seite. Dazu multiplizieren wir mit $r^2$ und teilen durch $(m_1{m}_2)$:

$$G=\frac{F_G\cdot r^2}{m_1\cdot m_2}$$

Schritt 4 — Messwerte einsetzen. Alle Größen rechts sind gemessen → $G$ ist berechenbar:

$$G\approx \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$F_G$	gemessene Gravitationskraft ($=F_H$ im Gleichgewicht)	N
$m_1,m_2$	Massen von kleiner und großer Kugel	kg
$r$	Abstand der Kugelmittelpunkte	m
$G$	gesuchte Gravitationskonstante	N·m²/kg²

Vom Wert $G$ zur Erdmasse. Mit bekanntem $G$ lässt sich das Gravitationsgesetz nun „umdrehen": An der Erdoberfläche gilt für einen Probekörper der Masse $m$ die Schwerkraft $mg=G{\displaystyle \frac{M_{E}m}{R_E^2}}$. Die Probemasse $m$ kürzt sich, und mit dem messbaren $g$ und dem bekannten Erdradius $R_E$ folgt erstmals die Erdmasse:

$$M_E=\frac{g\cdot R_E^2}{G}$$

Daher heißt der Versuch auch „Wiegung der Erde".