Thema 8 — Klassische Mechanik

Masse & Dichte · Newton'sche Axiome · Hooke'sches Gesetz (+ Experiment) · Arbeit/Leistung/Energie · Impuls

Kapitel

• 8.1 Masse, Dichte, Massenmittelpunkt
• 8.2 Hintergrund: Galilei vs. Scholastiker
• 8.3 Die drei Newton'schen Axiome
• 8.4 Hooke'sches Gesetz und Experiment
• 8.5 Arbeit, Leistung, Energie
• 8.6 Impuls und Drehimpuls
• 8.7 Kreisbewegung und Zentripetalkraft
• 8.8 Rotation: Translation-Rotation-Analogie

Selfcheck

1. Welche zwei Merkmale definieren die Masse, und warum fallen deshalb alle Körper gleich schnell?
2. Warum ist Masse ≠ Gewicht? Wo macht sich das bemerkbar?
3. Was ist ein Inertialsystem? Warum ist die Schwingungsebene des Foucault-Pendels eines, das Pendel selbst aber nicht?
4. Nenne die drei Newton'schen Axiome. Was bedeutet „Axiom"?
5. Formuliere das Hooke'sche Gesetz und beschreibe das Experiment zur Bestimmung von $k$ ($F_H=F_G$).
6. Warum verrichtet die Zentripetalkraft auf einer Kreisbahn keine Arbeit?
7. Warum ist die kWh eine Energie- und keine Leistungseinheit?
8. Leite über die Energieerhaltung $v=\sqrt{2gh}$ her. Warum fällt die Masse heraus?
9. Was ist der Impuls, und wie funktioniert das Rückstoßprinzip?
10. Was besagt die Drehimpulserhaltung, und mit welchem Keplerschen Gesetz hängt sie zusammen?
11. Warum braucht eine Kreisbewegung eine Kraft? Was ist die Zentripetalkraft, und warum ist die Zentrifugalkraft keine echte Kraft?
12. Warum heben sich actio und reactio nicht gegenseitig auf? Löse das Pferd-Wagen-„Paradoxon".
13. Ist die Erde ein Inertialsystem? Begründe.
14. Wie lange braucht das Foucault-Pendel am Südpol für eine volle Drehung? Warum gibt es im Universum kein perfektes Inertialsystem?
15. Problem der Masse: Woher kommt die Masse? Was geschah 2012? Was bedeutet „der Begriff der Masse könnte sich ändern"?
16. Maler-Anekdote: zwei Bilder, beide „ein Strich auf weißem Papier" — warum hat das Bild zum 1. Axiom gewonnen und das zum 3. verloren?
17. Was ist die Corioliskraft? Erkläre sie am Karussell-Beispiel und nenne zwei Folgen auf der Erde.
18. Nenne die historischen Eckdaten des Foucault-Pendels (Person, Jahr, Ort, Pendellänge, Masse).
19. Gib die vier Drehgrößen mit Formel an ($I$, $\omega$, $M$, $E_{\text{rot}}$) und die Analogie-Tabelle Translation ↔ Rotation.
20. Warum dreht sich eine Eiskunstläuferin schneller, wenn sie die Arme anzieht (mit $L=I\omega$)?

§§ANTWORTEN

1. Träge Masse $m_t$ (Widerstand gegen Beschleunigung) und schwere Masse $m_s$ (Gravitationswirkung). Weil $m_t=m_s$ (Äquivalenz), fallen im Vakuum alle Körper gleich schnell. (§8.1)
2. Die Masse ist überall gleich, das Gewicht $G=m\cdot g$ ist ortsabhängig. Auf dem Mond ist $g$ kleiner → das Gewicht nur ~1/6, die Masse bleibt dieselbe. (§8.1)
3. Ein unbeschleunigtes Bezugssystem, in dem das 1. Axiom gilt; alle sind gleichberechtigt. Die Schwingungsebene behält ihre Lage im Raum (Inertialsystem), das Pendel selbst wird ständig beschleunigt (keins). (§8.3)
4. I. Trägheitssatz, II. $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$, III. Actio = Reactio (${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2$). Ein Axiom ist ein nicht herleitbares Grundprinzip, das sich nur in der Praxis bewähren muss. (§8.3)
5. Die Längenänderung ist proportional zur Kraft: $F_H=k\cdot \mathrm{\Delta }x$ (rücktreibend). Im Experiment hängt man bekannte Massen an; im Gleichgewicht $F_H=F_G$ gilt $k=\frac{m\cdot g}{\mathrm{\Delta }x}$. (§8.4)
6. Arbeit ist $W=F\cdot s\cdot \cos \alpha$. Die Zentripetalkraft steht senkrecht zur Bewegung ($\alpha =90°$, $\cos =0$) → $W=0$. (§8.5)
7. Die kWh ist Leistung × Zeit: $1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot {10}^6$ J. Das Ergebnis ist eine Energie (Joule), keine Leistung. (§8.5)
8. Energieerhaltung: $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$. Die Masse $m$ steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus → $v=\sqrt{2gh}$. (§8.5)
9. Der Impuls $\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$ misst die „Wucht" (Vektor, relativ). Beim Rückstoß (aus dem 3. Axiom / Impulserhaltung) trägt das ausgestoßene Gas Impuls in eine Richtung, die Rakete in die andere. (§8.6)
10. In einem abgeschlossenen System (kein äußeres Drehmoment) bleibt der Drehimpuls $L=m\cdot v\cdot r$ konstant. Das ist die Grundlage des Zweiten Keplerschen Gesetzes (Flächensatz). (§8.6)
11. Auf einer Kreisbahn ändert sich ständig die Richtung von $\overrightarrow{v}$ → das ist eine Beschleunigung → nach $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ braucht es eine Kraft zum Mittelpunkt: die Zentripetalkraft $F_{\text{zp}}=\frac{m{v}^2}{r}$ (keine eigene Naturkraft, sondern eine Rolle, die z. B. die Gravitation übernimmt). Die Zentrifugalkraft ist nur eine Scheinkraft — der Trägheitseffekt im mitrotierenden System. (§8.7)
12. Weil sie auf verschiedene Körper wirken — aufheben können sich nur Kräfte am selben Körper. Pferd-Wagen: die eine Kraft wirkt auf den Wagen, die andere auf das Pferd, sie heben sich also nicht auf; vorwärts kommt das System, weil das Pferd die Erde nach hinten drückt und die Erde es nach vorn (auf Glatteis fehlt genau diese Kraft). (§8.3)
13. Streng genommen nein — die Erde rotiert und läuft auf einer gekrümmten Bahn um die Sonne. Bei kurzen Experimenten verhält sie sich näherungsweise wie ein Inertialsystem; lang andauernde Experimente wie das Foucault-Pendel zeigen die Abweichung — und beweisen damit die Erddrehung. (§8.3)
14. Am Pol $\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$: Lehrer-Antwort 24 h (streng ein Sterntag, 23 h 56 min); zum Vergleich Wien ca. 32 h. Kein perfektes Inertialsystem, weil die Gravitation überall ist — kein Ort ist wirklich kräftefrei (von hier führt die Spur zum Äquivalenzprinzip). (§8.3)
15. Aus der Kopplung an das Higgs-Feld; 2012 am CERN wurde das Higgs-Teilchen nachgewiesen. „Der Begriff der Masse könnte sich ändern" — physikalische Begriffe werden mit der Entwicklung der Physik neu gefasst. (§8.1)
16. Der gesamte physikalische Gehalt der gleichförmig geradlinigen Bewegung ist genau ein Strich (keine Kraft = nichts zu sehen, das Bild ist vollständig und treu); beim 3. Axiom wirken die Kräfte auf verschiedene Körper, das statische „Gegeneinander-Stemmen" ist unsichtbar und vom „es passiert gar nichts" nicht zu unterscheiden — das Bild kann seinen Inhalt nicht tragen (Deutung, Wortlaut nach Unterrichtserinnerung). (§8.3)
17. Die Corioliskraft ist eine Scheinkraft, die im rotierenden Bezugssystem bewegte Körper seitlich ablenkt. Auf einem drehenden Karussell scheint ein geradeaus geworfener Ball „zur Seite wegzudriften", weil sich das Karussell unter ihm weiterdreht. Folgen auf der Erde: Ablenkung der Passatwinde (Nordhalbkugel nach rechts) und die Drehrichtung von Wirbelstürmen (Nordhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn). (§8.7)
18. Léon Foucault, 1851, im Panthéon in Paris, Pendellänge 67 m, Pendelmasse 28 kg — der erste direkte, öffentlich sichtbare Beweis der Erdrotation. (§8.3)
19. Trägheitsmoment $I=m{r}^2$, Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ($v=\omega r$), Drehmoment $M=Fr$, Rotationsenergie $E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$. Analogie: $m\leftrightarrow I$, $v\leftrightarrow \omega$, $F\leftrightarrow M$, $p\leftrightarrow L=I\omega$, $\frac{1}{2}m{v}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}I{\omega }^2$. (§8.8)
20. Weil der Drehimpuls $L=I\omega$ erhalten bleibt: Zieht sie die Arme an, rückt Masse nach innen → $I$ sinkt → damit $L$ konstant bleibt, muss $\omega$ steigen → sie dreht schneller. (§8.8)