按 Prof. Linhart 真实出卷风格的三套口试 Zettel(自拟,风格对齐旁听真题);讲义见 主题 12 讲义。口试约 10 分钟:先写算例,再讨论。

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Zettel 1 — 放射性、核素图与半衰期(Radioaktivität, Nuklidkarte & Halbwertszeit)

范式定位(Paradigmeneinordnung): 经典物理是一座钟表宇宙——知道现在,就能算出未来。而原子核的衰变第一次告诉我们:自然自己也不知道一个原子何时衰变。本卷从「核为何不稳定」走到衰变定律,最后走到这扇哲学之门。

1. Erkläre: 什么是放射性(Radioaktivität)?为什么它与外界影响无关(加热、加压都改变不了半衰期)?
2. 四个成因 + 核素图(Nuklidkarte): 核不稳定的四个原因及核素图的颜色编码(黄/蓝/红/白/黑)。一个蓝色核素如何走回稳定谷?
3. 四种射线: α、β⁻、β⁺、γ 各由什么组成?用两条守恒律(电荷、核子数)自己推出 $\mathrm{\Delta }Z$、$\mathrm{\Delta }A$,并配平:${}_{92}^{238}\text{U}\to ?$
4. Ableitung: 从「每过 $T_{1/2}$ 剩一半」推出衰变定律 $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}$,再换底推出 $\lambda =\ln 2/T_{1/2}$。
5. Rechenbeispiel(先写纸上,再讨论): 切尔诺贝利的 Cs-137($T_{1/2}=30,2$ a):事故 36 年后还剩多少? 附加单位换算:I-131($T_{1/2}=8$ d)的衰变常数 $\lambda$ 是多少 1/s?
6. 科学理论/哲学弯钩: 衰变是真正的量子随机(echter Quantenzufall)——衰变有原因,衰变时刻却没有原因。这对拉普拉斯妖(Laplace'scher Dämon)——「知道宇宙现状者可算出全部未来」——意味着什么?

Zettel 2 — C-14 与 PET:核物理当钟表与照相机

范式定位: 同一条衰变定律,一头是考古学的钟(C-14),一头是医院里的反物质照相机(PET)。本卷考的是:把抽象的 $2^{-t/T_{1/2}}$ 用到真实世界。

1. Erkläre: C-14 从哪来?写出生成反应式(宇宙射线中子击中 N-14)并配平。
2. 衰变方程(追问必备): C-14 如何衰变回 N-14?写出方程并做电荷/核子数配平检查。
3. 原理: 为什么活体内 ${}^{14}\text{C}{/}^{12}\text{C}$ 恒定、死亡后开始下降?为什么方法只到约 5 万年?
4. Rechenbeispiel(写纸上): 一具木乃伊样品的 ${}^{14}\text{C}$ 含量只有活体的 12,5 %。它多老?($T_{1/2}\approx 5730$ a)
5. PET: 从 β⁺ 衰变经湮灭(Annihilation)到一个像素:为什么恰好两个 γ、为什么 180°、为什么要符合测量(Koinzidenz)、为什么每个像素至少 4 个 γ?
6. 单位换算/推导: 用 $E=m{c}^2$ 算出每个湮灭光子的能量恰为 511 keV($m_e=9,11\cdot {10}^{-31}$ kg;J → eV)。
7. Alltagsbeispiel + 追问: 临床为什么用 **F-18(FDG)**而不用 O-15?如果一批 O-15 晚到 13 分钟会怎样?
8. 弯钩: 医院里每天都在发生物质-反物质湮灭、$E=m{c}^2$ 在病床边兑现——「纯理论物理」与「应用」的边界在哪里?

Zettel 3 — 辐射防护与盖革-米勒计数管(Strahlenschutz & Geiger-Müller-Zählrohr)

范式定位: 看不见的危险,如何测量、如何防?一只「会咔哒响的管子」和三个以 A 开头的词,加一条平方反比定律。

1. Erkläre: 电离辐射为什么危险?(关键词:电离 → DNA → 癌;为什么频繁分裂的细胞尤其敏感?)
2. 3 个 A: 说出三大防护措施(Aufenthaltszeit、Abstand、Abschirmung),并给出 α/β/γ 的射程经验(纸/铝/铅)。
3. Ableitung: 为什么距离起平方作用?从球面 $O=4\pi r^2$ 推出 $I\propto 1/r^2$——与万有引力、库仑定律的共同几何根源。
4. Rechenbeispiel(写纸上): 操作一个放射源,把距离从 0,5 m 增加到 2 m——剂量率降到原来的几分之几?
5. 盖革-米勒计数管: 结构(外壁 −、中心丝 +、高压)与过程(电离 → 雪崩 → 电流脉冲 = 「咔哒」)。为什么是间接测量?
6. 追问抗压: 计数管的局限——它能区分 α/β/γ 吗?能测能量吗?γ 为什么探测效率低?
7. 跨题弯钩: 太空中没有大气和地磁场保护——火星任务怎么办?(~5 m 厚水层包住飞船、磁屏蔽——见主题 6)飞行常旅客和宇航员谁的剂量问题更大,为什么?

考官追问链 / Nachfragen-Kette

1. 同位素(Isotop)和离子(Ion)的区别——一句话。
2. 为什么 α 衰变偏偏甩出氦核,而不是单个质子?
3. β⁻ 衰变在夸克层面发生了什么?哪个玻色子?
4. 为什么 β 衰变需要(反)中微子?它解决哪条守恒律?
5. 自由质子不衰变——为什么核内 β⁺ 照样发生?
6. 为什么重核需要中子过剩($N>Z$)?铅之后还有稳定核素吗?
7. γ 衰变后元素变了吗?
8. 半衰期是统计概念——这句话什么意思?
9. 把一块放射性样品加热到 1000 °C,半衰期变吗?为什么?
10. 核素图上 β⁻ 往哪走?α 呢?
11. 为什么 C-14 测不了恐龙化石(6500 万年)?
12. PET 里两个 γ 各带多少能量?这个数从哪来?

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. 不稳定核自发衰变为另一个核并放出电离辐射,直到达到稳定同位素。与外界无关,因为核内能量在 MeV 量级(强核力),比化学能(eV,电子壳)大百万倍——外界的温度、压强对核「不可见」。德语关键句:„Der Kernzerfall ist unabhängig von äußeren Einflüssen — nichts ändert die Halbwertszeit."(§12.3)
2. 质量过大 → 黄(α);中子过多 → 蓝(β⁻);质子过多 → 红(β⁺);能量过多 → 白(γ);稳定 = 黑。走法:β⁻ = $Z+1,N-1$ 左上一格;β⁺ = 右下一格;α = 左下斜两格;γ 原地。蓝色核素(谷的右下侧)经一连串 β⁻ 衰变一步步向左上爬,直到落进黑色稳定谷。(§12.3)
3. α = 氦核(2p+2n),$\mathrm{\Delta }Z=-2,\mathrm{\Delta }A=-4$;β⁻ = 电子($n\to p^{+}+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$),$\mathrm{\Delta }Z=+1,\mathrm{\Delta }A=0$;β⁺ = 正电子($p^{+}\to n+e^{+}+{\nu }_e$),$\mathrm{\Delta }Z=-1,\mathrm{\Delta }A=0$;γ = 高能光子,$\mathrm{\Delta }Z=\mathrm{\Delta }A=0$。配平:${}_{92}^{238}\text{U}\to {}_{90}^{234}\text{Th}+{}_2^4\text{He}$——电荷 $92=90+2$ ✓,核子 $238=234+4$ ✓。(§12.4)
4. 数折半次数:过 $n$ 个半衰期剩 $N_0\cdot 2^{-n}$;$n=t/T_{1/2}$ → $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}$。换底:$2=e^{\ln 2}$ → $2^{-t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2/T_{1/2})t}$,与 $e^{-\lambda t}$ 比较 → $\lambda =\ln 2/T_{1/2}$。$\lambda$ = 单个核单位时间的衰变概率。(§12.7)
5. 计算(已验算): $n={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$ 个半衰期;$2^{-1,19}=1/2^{1,19}$,$2^{1,19}\approx 2,28$ → $1/2,28\approx \mathrm{0,438}=\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$。验算: $1,19\cdot \ln 2=1,19\cdot \mathrm{0,693}\approx \mathrm{0,826}$,$e^{-\mathrm{0,826}}\approx \mathrm{0,438}$ ✓——36 年后仍剩近一半,这正是数十年级半衰期「棘手」之处。单位换算: $T_{1/2}=8\text{d}=8\cdot 86400\text{s}=691200\text{s}$;$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{691200\text{s}}}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{6,912}\cdot {10}^5\text{s}}}\approx 1,0\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{s}}$。验算: $1,0\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{6,912}\cdot {10}^5\approx 0,69\approx \ln 2$ ✓。(§12.7)
6. 拉普拉斯妖的前提是决定论:同样的现在 → 同样的未来。量子随机打破它:衰变时刻没有原因,即使知道核的全部状态也算不出衰变时刻——„Die Natur selbst weiß nicht, wann ein Atom zerfällt."妖必败:这不是信息不足(人类无知),而是自然本性;能预言的只剩概率(半衰期正是统计陈述)。(§12.7)

Zettel 2

1. C-14 在大气中由宇宙射线生成:中子击中 N-14:${}_7^{14}\text{N}+{}_0^{1}n\to {}_6^{14}\text{C}+{}_1^1\text{H}$。配平:电荷 $7+0=6+1$ ✓;核子 $14+1=14+1$ ✓。(§12.8)
2. β⁻ 衰变回 N-14:${}_6^{14}\text{C}\to {}_7^{14}\text{N}+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$。检查:电荷左 $6$,右 $7+(-1)=6$ ✓;核子 $14=14$ ✓。生成与衰变构成循环。
3. 活体不断与环境交换碳(呼吸、进食)→ 体内比例 = 大气比例(大气中不断新生 C-14,长期近似恒定);死亡后停止摄入,C-14 只衰变不补充 → 比例按 $2^{-t/T_{1/2}}$ 下降。约 9 个半衰期后只剩 $2^{-9}\approx 0,2\mathrm{\%}$,测不动了 → 上限约 5 万年;更老用钾-氩法。(§12.8)
4. 计算(已验算): $12,5\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{1}{8}}=2^{-3}$ → 恰好 3 个半衰期 → $t=3\cdot 5730\text{a}=\mathbf{17}\mathbf{190}$ 年。验算: $2^{-3}=1/8=\mathrm{0,125}=12,5\mathrm{\%}$ ✓;$3\cdot 5730=17190$ ✓。
5. β⁺ 放射体放出正电子 → 与电子湮灭:$e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma$。两个 γ、180°: 湮灭前总动量 ≈ 0,单个光子动量 ≠ 0 → 必须两个等大反向 → 180°。符合: 两个相对探测器同时击中 → 湮灭在连线上。4 个 γ: 一次符合只定一条线,两条线的交点才是点 → 2 次湮灭 = 4 γ。德语关键句:„Eine einzelne Koinzidenz legt nur eine Linie fest, erst der Schnittpunkt zweier Linien einen Punkt."(§12.9)
6. 计算(已验算): $E=m_e{c}^2=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot (3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}{)}^2=9,11\cdot {10}^{-31}\cdot 9\cdot {10}^{16}\text{J}\approx 8,2\cdot {10}^{-14}$ J。换算:${\displaystyle \frac{8,2\cdot {10}^{-14}}{1,6\cdot {10}^{-19}}}\text{eV}\approx 5,1\cdot {10}^5\text{eV}\approx \mathbf{511}\mathbf{keV}$。验算: $9,11\cdot 9=82,0$ → $8,2\cdot {10}^{-14}$ ✓;$8,2/1,6=\mathrm{5,125}$ ✓。
7. F-18: $T_{1/2}\approx 110$ min,够从回旋加速器运送到医院,并嵌入葡萄糖类似物 FDG(肿瘤/活跃脑区耗糖多 → 富集发亮)。O-15 只有 $T_{1/2}\approx 2,03$ min:晚到 13 min = $n\approx 13/2,03\approx 6,4$ 个半衰期 → 剩 $2^{-6,4}\approx 1,18\mathrm{\%}$——几乎全没了(所以科研负责人恼火)。验算: $2^{6,4}\approx 64\cdot 1,32\approx 84,5$,$1/84,5\approx \mathrm{0,011}8$ ✓。(§12.9)
8. PET 是「纯理论」变日常的范例:狄拉克预言的反物质(1928)、爱因斯坦的 $E=m{c}^2$(1905)——当年毫无「用处」,今天每天在肿瘤科救命。结论:基础研究的应用不可预订,边界只是时间差。

Zettel 3

1. 电离辐射从分子中打出电子;若击中 DNA,细胞「图纸」受损,修复出错可致失控分裂(癌)。频繁分裂的细胞(骨髓、黏膜、胚胎)尤其敏感——它们常「使用」DNA,错误传播快。(§12.6)
2. Aufenthaltszeit(停留时间)短 · Abstand(距离)大 · Abschirmung(屏蔽)(铅、铅玻璃、钢筋混凝土)。射程:α 一张纸/皮肤;β 几 mm 铝;γ 厚铅/混凝土(穿透力最强)。(§12.6)
3. 点源向各方向均匀辐射 → 辐射摊在球面 $O=4\pi r^2$ 上 → 面积随 $r^2$ 增长 → 单位面积强度 $I\propto 1/r^2$。与引力、库仑定律同根:三维空间里点源的几何。(§12.6)
4. 计算(已验算): ${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{0,5}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{16}}=6,25\mathrm{\%}$。验算: 距离 ×4 → 强度 ÷ $4^2=16$ ✓——后退几步是最便宜的防护。
5. 金属管内低压气体;外壁(−)与中心丝(+)之间加高压(强电场)。入射粒子电离气体原子 → 自由电子被场加速、沿途再电离 → 雪崩 → 电荷到达电极 = 一次电流脉冲(「咔哒」)。间接:看不见粒子本身,数的是它的电离效应。德语关键句:„Man zählt Ereignisse, nicht die Strahlung selbst."(§12.5)
6. 局限:区分不了 α/β/γ、测不了能量;不带电的 γ 必须先在管壁/气体中打出电子才能触发 → 探测效率显著更低。(§12.5)
7. 太空中既无大气(≈ 10 m 水的等效屏蔽)也无地磁场 → 火星任务用 ~5 m 厚的水层包住飞船(水富氢:慢化 + 吸收,且反正要带)、磁屏蔽(模仿地磁场)、地下舱室(见主题 6 §6.1)。宇航员问题大得多:剂量率更高(无任何屏蔽)且任务连续数年;飞行常旅客只在 ~10 km 高度、仍有大部分大气保护。

追问链

1. 离子变的是壳(电子数),同位素变的是核(中子数)。
2. ${}_2^4$He 核结合得格外牢(每核子结合能高)——整包甩掉能量上最「划算」。
3. 一个下夸克 → 上夸克(udd → uud),经弱力,放出 $W^{-}$ 玻色子,它衰变为 $e^{-}+{\overline{\nu }}_e$。
4. 不是为电荷(它中性),而是为轻子数守恒;并分走能量 → β 电子连续能谱。
5. 自由的 $p\to n$ 要吸能(质子更轻)→ 稳定;核内由整个核的结合能之差支付 → 可行。
6. 库仑斥力长程($\sim Z^2$)、强核力短程 → 大核需要「只供胶水不添斥力」的额外中子;铅($Z=82$)之后没有稳定核素。
7. 没变——γ 只带走能量,$Z$、$A$ 都不变。
8. 只对大量核才有意义:单个核的衰变时刻完全随机,只有系综遵守 $2^{-t/T_{1/2}}$。
9. 不变——核内能量(MeV)比热能(eV 以下)大百万倍,外界对核「不可见」。
10. β⁻ 左上一格($Z+1,N-1$);α 左下斜两格($Z-2,N-2$)。
11. $6500$ 万年 ≈ $11000$ 多个半衰期 → $2^{-11000}$,什么都不剩;9 个半衰期(约 5 万年)就到测量极限。化石要用钾-氩法($T_{1/2}\approx 12,5$ 亿年)。
12. 各 511 keV = $m_e{c}^2$——电子静止质量的能量当量(见 Zettel 2 第 6 题计算)。