Drei Prüfungszettel im echten Stil von Prof. Linhart (selbst zusammengestellt, Stil an der hospitierten Originalprüfung ausgerichtet); Skript: Thema 12. Mündliche Prüfung ca. 10 Minuten: Rechenbeispiel zuerst aufs Papier, dann Diskussion.

---

Zettel 1 — Radioaktivität, Nuklidkarte & Halbwertszeit

Paradigmeneinordnung: Die klassische Physik ist ein Uhrwerk-Universum — wer die Gegenwart kennt, berechnet die Zukunft. Der Kernzerfall zeigt zum ersten Mal: Die Natur selbst weiß nicht, wann ein Atom zerfällt. Dieser Zettel führt von „warum ist ein Kern instabil?" über das Zerfallsgesetz bis zu dieser philosophischen Tür.

1. Erkläre: Was ist Radioaktivität? Warum ist sie unabhängig von äußeren Einflüssen (weder Erhitzen noch Druck ändern die Halbwertszeit)?
2. Vier Ursachen + Nuklidkarte: Nenne die vier Gründe für Instabilität und den Farbcode der Nuklidkarte (gelb/blau/rot/weiß/schwarz). Wie kommt ein blaues Nuklid zurück ins Stabilitätstal?
3. Die vier Strahlungsarten: Woraus bestehen α, β⁻, β⁺, γ? Leite $\mathrm{\Delta }Z$ und $\mathrm{\Delta }A$ aus den zwei Erhaltungssätzen (Ladung, Nukleonenzahl) selbst her und stelle die Bilanz auf: ${}_{92}^{238}\text{U}\to ?$
4. Ableitung: Aus „nach jeder $T_{1/2}$ bleibt die Hälfte" das Zerfallsgesetz $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}$ herleiten; dann durch Basiswechsel $\lambda =\ln 2/T_{1/2}$ zeigen.
5. Rechenbeispiel (zuerst aufs Papier, dann Diskussion): Cs-137 aus Tschernobyl ($T_{1/2}=30,2$ a): Wie viel ist 36 Jahre nach dem Unfall noch da? Zusatz Einheitenumrechnung: Wie groß ist die Zerfallskonstante $\lambda$ von I-131 ($T_{1/2}=8$ d) in 1/s?
6. Wissenschaftstheoretischer/philosophischer Haken: Der Zerfall ist echter Quantenzufall — es gibt einen Grund für den Zerfall, aber keinen für den Zeitpunkt. Was bedeutet das für den Laplace'schen Dämon („wer den Zustand des Universums kennt, berechnet die gesamte Zukunft")?

Zettel 2 — C-14 und PET: Kernphysik als Uhr und als Kamera

Paradigmeneinordnung: Dasselbe Zerfallsgesetz ist auf der einen Seite eine Uhr für die Archäologie (C-14), auf der anderen eine Antimaterie-Kamera im Krankenhaus (PET). Geprüft wird: das abstrakte $2^{-t/T_{1/2}}$ auf die echte Welt loslassen.

1. Erkläre: Woher kommt das C-14? Schreibe die Bildungsreaktion (Neutron der kosmischen Strahlung trifft N-14) und prüfe die Bilanz.
2. Zerfallsgleichung (Nachfrage-Pflicht): Wie zerfällt C-14 zurück zu N-14? Gleichung aufschreiben und Bilanz-Check (Ladung/Nukleonen).
3. Prinzip: Warum ist das Verhältnis ${}^{14}\text{C}{/}^{12}\text{C}$ im lebenden Organismus konstant und sinkt erst nach dem Tod? Warum reicht die Methode nur bis ca. 50 000 Jahre?
4. Rechenbeispiel (aufs Papier): Eine Mumienprobe enthält nur noch 12,5 % des lebenden ${}^{14}\text{C}$-Gehalts. Wie alt ist sie? ($T_{1/2}\approx 5730$ a)
5. PET: Vom β⁺-Zerfall über die Annihilation zum Bildpunkt: Warum genau zwei γ, warum 180°, warum Koinzidenz-Messung, warum mindestens 4 γ pro Bildpunkt?
6. Einheiten/Ableitung: Zeige mit $E=m{c}^2$, dass jedes Annihilationsphoton genau 511 keV trägt ($m_e=9,11\cdot {10}^{-31}$ kg; J → eV umrechnen).
7. Alltagsbeispiel + Nachfrage: Warum verwendet die Klinik F-18 (FDG) statt O-15? Was passiert, wenn eine O-15-Lieferung 13 Minuten zu spät kommt?
8. Haken: Im Krankenhaus findet täglich Materie-Antimaterie-Vernichtung statt, $E=m{c}^2$ wird am Krankenbett eingelöst — wo verläuft die Grenze zwischen „reiner Theorie" und „Anwendung"?

Zettel 3 — Strahlenschutz & Geiger-Müller-Zählrohr

Paradigmeneinordnung: Eine unsichtbare Gefahr — wie misst man sie, wie schützt man sich? Ein „klickendes Rohr", drei Wörter mit A und ein quadratisches Abstandsgesetz.

1. Erkläre: Warum ist ionisierende Strahlung gefährlich? (Stichworte: Ionisation → DNA → Krebs; warum sind sich oft teilende Zellen besonders empfindlich?)
2. Die 3 A: Nenne die drei Schutzmaßnahmen (Aufenthaltszeit, Abstand, Abschirmung) und die Reichweiten-Faustregel für α/β/γ (Papier/Aluminium/Blei).
3. Ableitung: Warum wirkt der Abstand quadratisch? Aus der Kugeloberfläche $O=4\pi r^2$ folgt $I\propto 1/r^2$ — dieselbe geometrische Wurzel wie bei Gravitations- und Coulomb-Gesetz.
4. Rechenbeispiel (aufs Papier): Beim Hantieren mit einem Präparat wird der Abstand von 0,5 m auf 2 m vergrößert — auf welchen Bruchteil sinkt die Dosisleistung?
5. Geiger-Müller-Zählrohr: Aufbau (Mantel −, zentraler Draht +, Hochspannung) und Ablauf (Ionisation → Lawine → Stromimpuls = „Klick"). Warum ist die Messung indirekt?
6. Nachfrage-fest: Die Grenzen des Zählrohrs — kann es α/β/γ unterscheiden? Energie messen? Warum ist die γ-Nachweiseffizienz gering?
7. Themenübergreifender Haken: Im All fehlen Atmosphäre und Erdmagnetfeld — was tut eine Mars-Mission? (Raumschiff mit ca. 5 m dicker Wasserschicht umhüllen, Magnetschild — siehe Thema 6) Wer hat das größere Dosisproblem: Vielflieger oder Astronauten — und warum?

Nachfragen-Kette

1. Isotop vs. Ion — in einem Satz.
2. Warum wirft der α-Zerfall ausgerechnet einen Heliumkern ab und nicht einzelne Protonen?
3. Was passiert beim β⁻-Zerfall auf Quark-Ebene? Welches Boson?
4. Wozu braucht der β-Zerfall das (Anti-)Neutrino? Welchen Erhaltungssatz rettet es?
5. Ein freies Proton zerfällt nicht — warum geht β⁺ im Kern trotzdem?
6. Warum brauchen schwere Kerne einen Neutronenüberschuss ($N>Z$)? Gibt es oberhalb von Blei noch stabile Nuklide?
7. Ändert sich beim γ-Zerfall das Element?
8. Die Halbwertszeit ist ein statistischer Begriff — was heißt das?
9. Man erhitzt ein radioaktives Präparat auf 1000 °C — ändert sich die Halbwertszeit? Warum?
10. Wohin geht β⁻ auf der Nuklidkarte? Und α?
11. Warum kann man Dinosaurierfossilien (65 Mio. Jahre) nicht mit C-14 datieren?
12. Welche Energie trägt jedes der beiden PET-γ — und woher kommt diese Zahl?

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. Ein instabiler Kern zerfällt spontan zu einem anderen Kern und emittiert ionisierende Strahlung, bis ein stabiles Isotop erreicht ist. Unabhängig von äußeren Einflüssen, weil die Kernenergien im MeV-Bereich liegen (starke Kernkraft) — millionenfach über den chemischen Energien (eV, Hülle); Temperatur und Druck sind für den Kern „unsichtbar". (§12.3)
2. Zu viel Masse → gelb (α); zu viele Neutronen → blau (β⁻); zu viele Protonen → rot (β⁺); zu viel Energie → weiß (γ); stabil = schwarz. Spielzüge: β⁻ = $Z+1,N-1$ ein Feld nach links oben; β⁺ = ein Feld nach rechts unten; α = zwei Felder diagonal nach links unten; γ bleibt am Ort. Ein blaues Nuklid (rechts unterhalb des Tals) klettert über eine Kette von β⁻-Zerfällen nach links oben bis ins schwarze Stabilitätstal. (§12.3)
3. α = Heliumkern (2p+2n), $\mathrm{\Delta }Z=-2,\mathrm{\Delta }A=-4$; β⁻ = Elektron ($n\to p^{+}+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$), $\mathrm{\Delta }Z=+1,\mathrm{\Delta }A=0$; β⁺ = Positron ($p^{+}\to n+e^{+}+{\nu }_e$), $\mathrm{\Delta }Z=-1,\mathrm{\Delta }A=0$; γ = hochenergetisches Photon, $\mathrm{\Delta }Z=\mathrm{\Delta }A=0$. Bilanz: ${}_{92}^{238}\text{U}\to {}_{90}^{234}\text{Th}+{}_2^4\text{He}$ — Ladung $92=90+2$ ✓, Nukleonen $238=234+4$ ✓. (§12.4)
4. Halbierungen zählen: nach $n$ Halbwertszeiten bleibt $N_0\cdot 2^{-n}$; mit $n=t/T_{1/2}$ folgt $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}$. Basiswechsel: $2=e^{\ln 2}$ → $2^{-t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2/T_{1/2})t}$; Vergleich mit $e^{-\lambda t}$ → $\lambda =\ln 2/T_{1/2}$. $\lambda$ = Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit eines einzelnen Kerns. (§12.7)
5. Rechnung (nachgeprüft): $n={\displaystyle \frac{36}{30,2}}\approx 1,19$ Halbwertszeiten; $2^{-1,19}=1/2^{1,19}$, $2^{1,19}\approx 2,28$ → $1/2,28\approx \mathrm{0,438}=\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\%}$. Probe: $1,19\cdot \ln 2=1,19\cdot \mathrm{0,693}\approx \mathrm{0,826}$, $e^{-\mathrm{0,826}}\approx \mathrm{0,438}$ ✓ — nach 36 Jahren noch fast die Hälfte; genau das macht Jahrzehnte-Halbwertszeiten so heikel. Einheiten: $T_{1/2}=8\text{d}=8\cdot 86400\text{s}=691200\text{s}$; $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{691200\text{s}}}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{6,912}\cdot {10}^5\text{s}}}\approx 1,0\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{s}}$. Probe: $1,0\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{6,912}\cdot {10}^5\approx 0,69\approx \ln 2$ ✓. (§12.7)
6. Der Laplace'sche Dämon setzt Determinismus voraus: gleiche Gegenwart → gleiche Zukunft. Der Quantenzufall bricht das: Für den Zeitpunkt des Zerfalls gibt es keinen Grund — selbst vollständige Kenntnis des Kernzustands erlaubt keine Vorhersage. „Die Natur selbst weiß nicht, wann ein Atom zerfällt." Der Dämon scheitert prinzipiell: kein menschliches Nichtwissen, sondern eine Eigenschaft der Natur; vorhersagbar bleiben nur Wahrscheinlichkeiten (die Halbwertszeit ist genau so eine statistische Aussage). (§12.7)

Zettel 2

1. C-14 entsteht in der Atmosphäre durch die kosmische Strahlung: ein Neutron trifft N-14: ${}_7^{14}\text{N}+{}_0^{1}n\to {}_6^{14}\text{C}+{}_1^1\text{H}$. Bilanz: Ladung $7+0=6+1$ ✓; Nukleonen $14+1=14+1$ ✓. (§12.8)
2. β⁻-Zerfall zurück zu N-14: ${}_6^{14}\text{C}\to {}_7^{14}\text{N}+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$. Check: Ladung links $6$, rechts $7+(-1)=6$ ✓; Nukleonen $14=14$ ✓. Entstehung und Zerfall bilden einen Kreislauf.
3. Der lebende Organismus tauscht ständig Kohlenstoff (Atmen, Essen) → sein Verhältnis = Atmosphärenverhältnis (dort wird laufend C-14 nachgebildet, langfristig ≈ konstant); mit dem Tod stoppt die Aufnahme, C-14 zerfällt nur noch → das Verhältnis sinkt nach $2^{-t/T_{1/2}}$. Nach ca. 9 Halbwertszeiten bleiben $2^{-9}\approx 0,2\mathrm{\%}$ — kaum messbar → Grenze ~50 000 a; für Älteres Kalium-Argon. (§12.8)
4. Rechnung (nachgeprüft): $12,5\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{1}{8}}=2^{-3}$ → genau 3 Halbwertszeiten → $t=3\cdot 5730\text{a}=\mathbf{17}\mathbf{190}$ Jahre. Probe: $2^{-3}=1/8=\mathrm{0,125}=12,5\mathrm{\%}$ ✓; $3\cdot 5730=17190$ ✓.
5. Der β⁺-Strahler sendet ein Positron → Annihilation mit einem Elektron: $e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma$. Zwei γ, 180°: Gesamtimpuls vorher ≈ 0; ein einzelnes Photon hätte Impuls ≠ 0 → es braucht zwei mit entgegengesetzt gleichem Impuls → 180°. Koinzidenz: zwei gegenüberliegende Detektoren werden gleichzeitig getroffen → die Annihilation liegt auf der Verbindungslinie. 4 γ: Eine Koinzidenz legt nur eine Linie fest; erst der Schnittpunkt zweier Linien ist ein Punkt → 2 Annihilationen = 4 γ. (§12.9)
6. Rechnung (nachgeprüft): $E=m_e{c}^2=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot (3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}{)}^2=9,11\cdot {10}^{-31}\cdot 9\cdot {10}^{16}\text{J}\approx 8,2\cdot {10}^{-14}$ J. Umrechnen: ${\displaystyle \frac{8,2\cdot {10}^{-14}}{1,6\cdot {10}^{-19}}}\text{eV}\approx 5,1\cdot {10}^5\text{eV}\approx \mathbf{511}\mathbf{keV}$. Probe: $9,11\cdot 9=82,0$ → $8,2\cdot {10}^{-14}$ ✓; $8,2/1,6=\mathrm{5,125}$ ✓.
7. F-18: $T_{1/2}\approx 110$ min — lang genug für den Transport vom Zyklotron ins Krankenhaus, eingebaut ins Glukose-Analogon FDG (Tumoren/aktive Hirnareale verbrauchen viel Zucker → Anreicherung „leuchtet"). O-15 hat nur $T_{1/2}\approx 2,03$ min: 13 min Verspätung = $n\approx 13/2,03\approx 6,4$ Halbwertszeiten → Rest $2^{-6,4}\approx 1,18\mathrm{\%}$ — praktisch alles zerfallen (deshalb ärgert sich der Forschungsleiter). Probe: $2^{6,4}\approx 64\cdot 1,32\approx 84,5$, $1/84,5\approx \mathrm{0,011}8$ ✓. (§12.9)
8. PET ist das Paradebeispiel für „reine Theorie wird Alltag": Diracs Antimaterie (1928) und Einsteins $E=m{c}^2$ (1905) waren einst „nutzlos" — heute retten sie täglich Leben in der Onkologie. Fazit: Anwendungen der Grundlagenforschung sind nicht bestellbar; die Grenze ist nur eine Zeitverschiebung.

Zettel 3

1. Ionisierende Strahlung reißt Elektronen aus Molekülen; trifft das die DNA, wird der Bauplan der Zelle beschädigt — falsche Reparatur kann zu unkontrollierter Teilung (Krebs) führen. Sich oft teilende Zellen (Knochenmark, Schleimhäute, Embryo) sind besonders empfindlich: Sie „benutzen" ihre DNA häufig und geben Fehler schnell weiter. (§12.6)
2. Aufenthaltszeit kurz · Abstand groß · Abschirmung (Blei, Bleiglas, Stahlbeton). Reichweiten: α ein Blatt Papier/die Haut; β wenige mm Aluminium; γ dickes Blei/Beton (am durchdringendsten). (§12.6)
3. Eine Punktquelle strahlt gleichmäßig in alle Richtungen → die Strahlung verteilt sich auf eine Kugeloberfläche $O=4\pi r^2$ → die Fläche wächst mit $r^2$ → die Intensität pro Fläche sinkt mit $I\propto 1/r^2$. Dieselbe Wurzel wie bei Gravitation und Coulomb: die Geometrie einer Punktquelle im dreidimensionalen Raum. (§12.6)
4. Rechnung (nachgeprüft): ${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{0,5}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{16}}=6,25\mathrm{\%}$. Probe: vierfacher Abstand → Intensität durch $4^2=16$ ✓ — ein paar Schritte zurück sind der billigste Strahlenschutz.
5. Metallrohr mit Gas bei geringem Druck; Hochspannung zwischen Mantel (−) und zentralem Draht (+) (starkes E-Feld). Ein einfallendes Teilchen ionisiert ein Gasatom → das freie Elektron wird zum Draht beschleunigt, ionisiert unterwegs weitere Atome → Lawine → die Ladung an den Elektroden ergibt einen Stromimpuls („Klick"). Indirekt, weil man nicht das Teilchen sieht, sondern seine Ionisationswirkung zählt: „Man zählt Ereignisse, nicht die Strahlung selbst." (§12.5)
6. Grenzen: Es kann α/β/γ nicht unterscheiden und die Energie nicht messen; das ungeladene γ muss erst in Wand/Gas ein Elektron herausschlagen → deutlich geringere Nachweiseffizienz. (§12.5)
7. Im All fehlen Atmosphäre (≈ Schutzwirkung von ~10 m Wasser) und Erdmagnetfeld → Mars-Mission: das Raumschiff mit einer ca. 5 m dicken Wasserschicht umhüllen (Wasser ist wasserstoffreich: moderiert + absorbiert, und man braucht es ohnehin), Magnetschild (ahmt das Erdmagnetfeld nach), Quartiere unter dem Marsboden (siehe Thema 6 §6.1). Astronauten haben das weit größere Problem: höhere Dosisleistung (gar keine Abschirmung) über Jahre; Vielflieger sind nur in ~10 km Höhe und behalten den Großteil der Atmosphäre als Schild.

Nachfragen-Kette

1. Ein Ion ändert die Hülle (Elektronenzahl), ein Isotop den Kern (Neutronenzahl).
2. Der ${}_2^4$He-Kern ist außergewöhnlich fest gebunden (hohe Bindungsenergie pro Nukleon) — das kompakte Paket im Ganzen abzustoßen ist energetisch am „billigsten".
3. Ein Down-Quark → Up-Quark (udd → uud) über die schwache Kraft; dabei wird ein $W^{-}$-Boson abgestrahlt, das in $e^{-}+{\overline{\nu }}_e$ zerfällt.
4. Nicht für die Ladung (es ist neutral), sondern für die Erhaltung der Leptonenzahl; außerdem teilt es sich die Energie → kontinuierliches β-Spektrum.
5. Frei würde $p\to n$ Energie kosten (das Proton ist leichter) → stabil; im Kern zahlt die Differenz der Bindungsenergien des ganzen Kerns → möglich.
6. Coulomb-Abstoßung ist langreichweitig ($\sim Z^2$), die starke Kraft kurzreichweitig → große Kerne brauchen zusätzliche Neutronen als „Kleber ohne Abstoßung"; oberhalb von Blei ($Z=82$) gibt es kein stabiles Nuklid.
7. Nein — γ trägt nur Energie weg, $Z$ und $A$ bleiben unverändert.
8. Sie ist nur für sehr viele Kerne sinnvoll: Der Zeitpunkt des einzelnen Zerfalls ist völlig zufällig, nur das Ensemble folgt $2^{-t/T_{1/2}}$.
9. Nein — die Kernenergien (MeV) liegen millionenfach über thermischen Energien (unter eV); äußere Einflüsse sind für den Kern „unsichtbar".
10. β⁻ ein Feld nach links oben ($Z+1,N-1$); α zwei Felder diagonal nach links unten ($Z-2,N-2$).
11. 65 Mio. Jahre ≈ über $11000$ Halbwertszeiten → $2^{-11000}$ — es bleibt nichts übrig; schon nach 9 Halbwertszeiten (~50 000 a) ist die Messgrenze erreicht. Fossilien datiert man z. B. mit Kalium-Argon ($T_{1/2}\approx 1,25$ Mrd. a).
12. Je 511 keV $=m_e{c}^2$ — das Energieäquivalent der Elektronen-Ruhemasse (Rechnung siehe Zettel 2, Aufgabe 6).