Drei Zettel im echten Prüfungsstil von Prof. Linhart (Zettel 1 = mitgehörte echte Prüfung ★) + Nachfragen-Kette + Antwortschlüssel — inhaltliche Anker im Skript Thema 2. Das Hearing dauert ca. 10 Minuten: erst Herleitung und Zahlen aufs Papier, dann Diskussion am Zettel.

Zettel 1 — Der geostationäre Satellit ★ (echte Prüfung)

Paradigmen-Einstieg: „Im Paradigma der klassischen Mechanik genügt ein einziger Gedanke für die ganze Raumfahrt: Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft."

1. ★ Erkläre: die Bedeutung von Satelliten und ihre Anwendungen — nenne mindestens vier (Fernsehen, Telekommunikation, Wetter, Spionage/Navigation …).
2. ★ Physikalisches Gesetz: Welches Gesetz steckt hinter dem geostationären Satelliten? Schreibe den Ansatz an ($F_{ZP}=F_G$), erkläre alle physikalischen Größen und nenne die drei Bedingungen für eine geostationäre Bahn.
3. ★ Ableitung durchführen: Leite aus $F_{ZP}=F_G$ den Bahnradius $r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$ her.
4. ★ Einheiten + Rechenbeispiel: In welcher Einheit gehört $T$ eingesetzt? Berechne $r$ mit Zahlen ($M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg, $T\approx 86400$ s) und daraus die Höhe über der Erdoberfläche.
5. ★ Alltagsbeispiel zum Schluss: Wohin zeigt die Satellitenschüssel auf eurem Dach — und warum? (Nordhalbkugel)

Zettel 2 — Kreisbahn und ISS

Paradigmen-Einstieg: „Im Paradigma der klassischen Mechanik fällt ein Satellit ständig — er verfehlt nur immerzu den Boden."

1. Erkläre: Die Gravitation wirkt ständig auf den Satelliten — warum fällt er nicht herunter? (Newtons Gedankenexperiment vom Berg)
2. Ableitung durchführen: Leite die Kreisbahngeschwindigkeit $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$ her. Warum kommt die Satellitenmasse im Ergebnis nicht vor?
3. Nachfrage (Anekdote): Nach Sputnik (1957) fragte Präsident Eisenhower seine Berater: Höhe und Bahngeschwindigkeit sind bekannt — kann man daraus die Masse des Satelliten berechnen?
4. Rechenbeispiel: Berechne Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit der ISS ($h=400$ km, $R_E=6370$ km). Was gehört für $r$ eingesetzt — und welcher häufige Fehler lauert?
5. Begriff: Was ist die erste kosmische Geschwindigkeit? Warum ist die ISS etwas langsamer?
6. Irrtums-Haken: Die Astronauten auf der ISS sind „schwerelos" — gibt es dort keine Gravitation? (Hinweis: in 400 km Höhe noch ca. 89 %)

Zettel 3 — Fluchtgeschwindigkeit und Bahnformen

Paradigmen-Einstieg: „Im Paradigma der klassischen Mechanik entscheidet allein die Gesamtenergie, ob ein Körper gebunden bleibt oder entkommt."

1. Erkläre: die Fluchtgeschwindigkeit exakt — was passiert „im Unendlichen"?
2. Ableitung durchführen: Leite $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{r}}}$ über die Energieerhaltung her.
3. Rechenbeispiel: Berechne $v_F$ für Erde und Mond (Mond: $M=7,35\cdot {10}^{22}$ kg, $r=1,74\cdot {10}^6$ m).
4. Zusammenhang: Wie hängen $v_F$ und die Kreisbahngeschwindigkeit auf gleicher Höhe zusammen? Warum genau $\sqrt{2}$?
5. Drei Bahnklassen: Wie entscheidet das Vorzeichen von $E_{\text{ges}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$ über Ellipse, Parabel oder Hyperbel?
6. Haken (Brücke zu Thema 11): Was wäre, wenn an einer Oberfläche $v_F>c_0$ gälte? Leite daraus den Schwarzschildradius ab. Und: Warum liegen Startplätze nahe am Äquator, und warum startet man nach Osten?

Nachfragen-Kette

1. ★ „Wohin zeigt Ihre Satellitenschüssel zu Hause — und warum?"
2. „Warum ein Sterntag und nicht 24 Stunden?"
3. „Sie haben T in Stunden eingesetzt — was geht da schief?"
4. „Kann ein Satellit über Wien stehen bleiben?"
5. „Eisenhowers Frage: Höhe und Geschwindigkeit bekannt — Masse berechenbar?"
6. „Auf der ISS schweben die Astronauten — gibt es dort keine Gravitation?"
7. „Je höher die Bahn — schneller oder langsamer?"
8. „Warum genau $\sqrt{2}$?"
9. „Die Reibung bremst den Satelliten — warum wird er dann schneller?"
10. „Was passiert, wenn $v_F$ größer als die Lichtgeschwindigkeit wird?"
11. „Warum startet man Raketen nach Osten?"
12. „Was bedeutet eine negative Gesamtenergie?"

§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. Anwendungen: Satellitenfernsehen, Telekommunikation, Wettersatelliten, Spionagesatelliten; dazu Navigation (GPS) und Erdbeobachtung. Bedeutung: Infrastruktur der globalen Kommunikation und Beobachtung — der geostationäre Satellit „steht" am Himmel, die Antenne muss nicht nachgeführt werden. → Skript §2.3
2. Gesetz: Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft, $F_{ZP}=F_G$, also ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$. Größen: $m$ … Satellitenmasse (kg, kürzt sich), $M$ … Erdmasse (kg), $G$ … Gravitationskonstante ($\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²), $r$ … Bahnradius vom Erdmittelpunkt (m), $v$ … Bahngeschwindigkeit (m/s). Drei Bedingungen: Umlaufzeit = ein Sterntag; Bahn über dem Äquator; in Drehrichtung der Erde. → Skript §2.3
3. Aus $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ (nach Kürzen von $m$), mit $v=\omega r$: ${\omega }^2{r}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ → ${\omega }^2{r}^3=GM$; mit $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$: ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}{r}^3=GM$ → $r^3={\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$ → $\boxed{{\displaystyle r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}}}$. → Skript §2.3, Herleitung
4. $T$ unbedingt in Sekunden: $T=24\cdot 3600=86400$ s (der exakte Sterntag 86 164 s verschiebt das Ergebnis nur um ~80 km). Einsetzen: $$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}974\cdot10^{24}\cdot86,400^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot7{,}46\cdot10^{9}}{39{,}48}} = \sqrt[3]{7{,}54\cdot10^{22}} \approx 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m} \approx 42,200\ \text{km}$$ (Probe: $(4,22\cdot {10}^7{)}^3=7,52\cdot {10}^{22}$ ✓) Höhe: $h=r-R_E\approx 42200-6370\approx 35800$ km. Nebenbei: $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\approx 3,1$ km/s.
5. ★ Nach Süden — der geostationäre Satellit kann nur über dem Äquator stehen; von der Nordhalbkugel (Österreich, ca. 48° N) aus liegt der Äquator im Süden. Darum ist die Schüssel fix nach Süden gerichtet und muss nie nachgeführt werden. Schlüsselsatz: „Auf der Nordhalbkugel zeigt die Schüssel nach Süden — zum Satelliten über dem Äquator." → Skript §2.3

Zettel 2

1. Der Satellit fällt tatsächlich ständig — er ist nur so schnell, dass die Erdoberfläche unter ihm gleich schnell wegkrümmt: Er „verfehlt" den Boden immerzu (Newtons Bergkanone, siehe Thema 11 §11.1). → Skript §2.2
2. ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$ → $m$ auf beiden Seiten kürzen → $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$ → $\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{GM/r}}}$. Die Satellitenmasse steht auf beiden Seiten und fällt weg — Feder und Lastwagen durchlaufen dieselbe Bahn gleich schnell.
3. Nein — gerade weil sich $m$ herauskürzt, steckt in den Bahndaten keinerlei Masseninformation; die Masse ist nur über eine Wechselwirkung (z. B. Stoß + Impulserhaltung) bestimmbar. → Skript §2.2
4. $r=R_E+h=6370+400=6770$ km $=6,77\cdot {10}^6$ m (häufiger Fehler: nur die Flughöhe $h$ einsetzen!). $$v = \sqrt{\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}974\cdot10^{24}}{6{,}77\cdot10^6}} = \sqrt{5{,}89\cdot10^7} \approx 7670\ \text{m/s} \approx 7{,}7\ \text{km/s}$$ $$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot6{,}77\cdot10^6}{7670} \approx 5546\ \text{s} \approx 92\ \text{min}$$ (Probe: ${7670}^2=5,88\cdot {10}^7$ ✓) Rund 16 Erdumrundungen pro Tag.
5. Erste kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit einer erdnahen Kreisbahn ($r=R_E$) $\approx 7,9$ km/s — die kleinste Geschwindigkeit, mit der ein Körper die Erde umrunden kann. Die ISS fliegt 400 km höher, größeres $r$ → kleineres $v$ (7,7 km/s): „je höher, desto langsamer".
6. Doch — in 400 km Höhe noch ca. $89\mathrm{\%}$ des Oberflächenwerts ($(6370/6770{)}^2$). Schwerelos sind die Astronauten, weil sie mit der Station im freien Fall sind — Umlaufen ist ein Fallen, das den Boden nie erreicht. Genau das ist das Äquivalenzprinzip aus Thema 11: freier Fall ≡ Schwerelosigkeit. → Skript §2.2 · Thema 11 §11.5

Zettel 3

1. $v_F$ ist die Geschwindigkeit, um dem Schwerefeld an der Oberfläche für immer zu entkommen. Exakt: Startet ein Körper mit genau $v_F$, kommt er nach unendlich langer Zeit in unendlicher Entfernung mit $v=0$ an. → Skript §2.4
2. Start: $E_{\text{ges}}={\displaystyle \frac{m{v}_F^2}{2}}$; im Unendlichen: kinetische Energie aufgebraucht, alles in der Lage. Gleichsetzen: ${\displaystyle \frac{m{v}_F^2}{2}}=mgh$ → $m$ kürzen, mal 2: $v_F^2=2gh$; mit $g={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$ und $h=r$: $v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$ → $\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{2GM/r}}}$. (Sauber: Gesamtenergie an der Oberfläche null setzen, $\frac{1}{2}m{v}_F^2-\frac{GMm}{r}=0$ — dasselbe Ergebnis.) → Skript §2.4, Herleitung
3. Erde: $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6,37\cdot {10}^6}}}=\sqrt{1,25\cdot {10}^8}\approx 11200$ m/s $\approx 11,2$ km/s. Mond: $v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot 7,35\cdot {10}^{22}}{1,74\cdot {10}^6}}}=\sqrt{5,64\cdot {10}^6}\approx 2370$ m/s $\approx 2,4$ km/s. (Probe: $11{200}^2=1,25\cdot {10}^8$ ✓; ${2370}^2=5,6\cdot {10}^6$ ✓)
4. $v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}$. Beide Formeln nebeneinander: $v_{\text{Kreis}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$, $v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$ — der einzige Unterschied ist der Faktor 2 unter der Wurzel; Division liefert $\sqrt{2}$.
5. $E_{\text{ges}}<0$ → gebunden (Kreis/Ellipse, Kepler-Bahnen); $E_{\text{ges}}=0$ → genau $v=v_F$, Parabel; $E_{\text{ges}}>0$ → Flucht mit Restgeschwindigkeit, Hyperbel. → Skript §2.5
6. $v_F>c_0$ → nicht einmal Licht entkommt — ein schwarzes Loch. Mit $v_F=c_0$: $R={\displaystyle \frac{2GM}{c_0^2}}$ (Schwarzschildradius, siehe Thema 11 §11.7). Startplätze: Die Erde dreht sich von West nach Ost; am Äquator bewegt sich der Boden mit ca. $0,46$ km/s — wer nach Osten startet, nimmt das als „gratis Anzahlung" mit und spart Treibstoff.

Kurzantworten zur Nachfragen-Kette

1. ★ Nach Süden — der Satellit steht über dem Äquator; von der Nordhalbkugel aus liegt der im Süden.
2. Sterntag = volle Erddrehung relativ zu den Sternen (23 h 56 min); für „immer über demselben Punkt" zählt die echte Drehung — die 4 Extra-Minuten des Sonnentags kommen vom Lauf um die Sonne.
3. Dimensionschaos — in $G$ steckt die Sekunde; $T$ in Stunden macht $r$ um Größenordnungen falsch.
4. Nein — die Bahnebene muss durch den Erdmittelpunkt gehen; ein Kreis um den Wiener Breitengrad hätte seinen Mittelpunkt auf der Erdachse, diese Zentripetalkraft kann die Gravitation nicht liefern (von der Erde aus bestenfalls eine „8"-Figur).
5. Nein — $m$ kürzt sich auf beiden Seiten heraus, die Bahndaten enthalten keine Masseninformation.
6. Doch (ca. 89 %) — Schwerelosigkeit = gemeinsamer freier Fall mit der Station.
7. Langsamer ($v=\sqrt{GM/r}$: großes $r$, kleines $v$); geostationär 3,1 km/s < ISS 7,7 km/s.
8. Der Faktor 2 unter der Wurzel: $v_F^2/v_{\text{Kreis}}^2=2$.
9. Reibung senkt die Gesamtenergie → tiefere Bahn → kleineres $r$ heißt größeres $v$: Beim Absinken wird mehr potentielle Energie frei, als die Reibung frisst.
10. Ein schwarzes Loch — am Ereignishorizont $v_F=c_0$, daraus $R=2GM/c_0^2$.
11. Die Erde dreht von West nach Ost — der Boden liefert am Äquator $\approx 0,46$ km/s Anfangsgeschwindigkeit gratis.
12. Der Körper ist in der Potentialmulde gebunden (Kreis-/Ellipsenbahn) — die Energie reicht nicht bis ins Unendliche.