8.3 牛顿三大定律

来源： 考纲 §8 · 课堂笔记 §4.4.2

公理（Axiom）是理论的基本原则。从公理能推出整套理论，但公理本身无法被推导——它只需在实践中得到验证。

第一定律——惯性定律

不受（合）力作用的物体，保持静止或匀速直线运动。

**惯性参考系（Inertialsystem）**是使该定律成立的参考系——即不加速的系统。它是一种理想化：宇宙中没有完美的惯性系，但有很好的近似（远离天体、关闭引擎的飞船，匀速直行的火车）。所有惯性系都是等价的。

✎ 傅科摆： 摆动平面（近似）是惯性系——它在空间中方向不变，而地球在其下方自转。摆本身不是惯性系（它一直被加速）。

✎ 摆动平面的旋转，逐步来看。 因为摆动平面在空间中保持不动，地球便在它下方转走——从地面上看，仿佛是平面在转。摆面相对地面转一整圈所需的时间为：

$$T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }$$

符号	含义	单位
$T_{\text{Dreh}}$	摆动平面的旋转周期（相对地面）	h
$T_{\text{Tag}}$	一个恒星日（地球转一整圈）$\approx 24$ h	h
$\phi$	所在地的地理纬度	°

纬度 $\phi$ 决定一切：

1. 在两极（$\phi ={90}^{\circ }$，$\sin {90}^{\circ }=1$）：$T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$——摆面恰好 1 天转一整圈（这里地球正好在摆下方直接转过）。
2. 在赤道（$\phi =0^{\circ }$，$\sin 0^{\circ }=0$）：$T_{\text{Dreh}}\to \mathrm{\infty }$——摆面根本不转。
3. 中纬度介于两者之间：在维也纳（$\phi \approx {48}^{\circ }$），$T_{\text{Dreh}}={\displaystyle \frac{24\text{h}}{\sin {48}^{\circ }}}\approx 32$ h 转一整圈。

摆动平面之所以会转，正是地球自转的直接证据——摆「察觉」不到地球，只是固执地保持自己的平面，于是下方的自转就显现出来了。

✎ 地球本身是惯性系吗？ 严格说不是——它在自转，还沿弯曲轨道绕太阳运行。但在短时间、测量精度要求不高的实验里，它表现得像一个惯性系；只有长时间的实验（如傅科摆）才让偏差显现出来。（傅科约 1850 年在巴黎证明了地球自转——先在地下室用 2 m 长的摆，后在天文台用 11 m 的摆公开演示。）

✎ 史实要点（考纲）： 那场著名的公开实验于 1851 年在巴黎先贤祠（Panthéon）举行。**莱昂·傅科（Léon Foucault）**在那里悬挂了一个 67 m 长、摆锤重 28 kg 的摆——做得这么长、这么重，是为了让它能连续摆动数小时而几乎不减速，因为摆动平面的旋转要经过很多小时才看得明显（巴黎约需 32 h 转一整圈）。摆锤上的尖针在地面沙盘里划出痕迹——痕迹肉眼可见地逐渐偏移：这是人人都能看到的、对地球自转的第一个直接、直观的证明。

✎ 真题追问·南极的傅科摆 & 完美惯性系： „Wie lange bräuchte das Pendel am Südpol für eine volle Drehung?"——老师口径：24 h（极点 $\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$；严格说是一个恒星日 23 h 56 min）。对照：维也纳 $24/\sin 48°\approx 32$ h（见上）。为什么没有完美的惯性系？（真题口径）——因为引力无处不在（„Die Gravitation ist überall"）：宇宙中没有任何地点严格不受力，惯性系永远只是近似。这正是通往等效原理的思想线索——引力在局部可被加速参考系「变换掉」。

第二定律——力的定律

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}}}$$

符号	含义	单位
$\overrightarrow{F}$	力	N
$m$	（惯性）质量	kg
$\overrightarrow{a}$	加速度	m/s²

力作用于质量才产生加速度。没有（合）力就没有加速度。第二定律是第一定律的定量加强：第一定律说改变运动状态需要力，第二定律说需要多少——加速度与力成正比、与质量成反比（$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}/m$）。这里的质量正是惯性的量度：同样的力作用在大质量上，加速度更小。

由公式可得三种解读（看固定哪个量）：

1. $\overrightarrow{F}$ 不变 → $m$ 与 $\overrightarrow{a}$ 成反比（$a=F/m$）：质量翻倍 → 加速度减半。（同样的推力，满载车比空车加速慢。）
2. $m$ 不变 → $\overrightarrow{F}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 成正比（$F=ma$）：力翻倍 → 加速度翻倍。（同一辆车，发动机力翻倍，加速度翻倍。）
3. $\overrightarrow{a}$ 不变 → $\overrightarrow{F}$ 与 $m$ 成正比（$F=ma$）：质量翻倍，要达到同样加速度就需翻倍的力。（装满的购物车，要同样快地推动需更大的力。）

✎ $\overrightarrow{F}$、$\overrightarrow{a}$ 都是矢量：加速度永远指向合力方向。若力垂直于运动方向，它就只改变方向（圆周运动，见 §8.7），不改变快慢。

第三定律——作用与反作用

两个物体相互作用时，二力大小相等、方向相反。

$${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2$$

力总是成对出现。相互作用通过粒子传递（相互作用粒子（在两物体间传递某种力的交换粒子，例如电磁力由光子传递）——参见四种基本力）。

例子： 从地面起跳时，你向下压地球，地球以同等的力向上推你（因地球很重，只看到你的运动）。从同等质量的船上起跳，船以相同速度向后运动。

✎ 这两个力为什么不相互抵消？ 因为它们作用在不同的物体上：${\overrightarrow{F}}_1$ 作用在物体 A 上，${\overrightarrow{F}}_2$ 作用在物体 B 上。只有作用在同一物体上的力才能相互抵消。应用第二定律时，每个物体也因此只算作用在它自己身上的力——反作用力影响的是另一个物体的运动。第三定律同时是动量守恒的基础（见 §8.6）。

马拉车「悖论」： *「马拉车的力与车拉马的力一样大——所以它们永远动不了？」*错：这两个力作用在不同物体上（一个作用在车上，一个作用在马上），根本不可能相互抵消。马还把蹄子「抠」进地面：它向后蹬地，地球（作用＝反作用）向前推它——正是这股地面的力让马连同车一起加速。在光滑的冰面上恰恰缺了这股力，马就真的寸步难行。

✎ 课堂轶事·两位画家（解读供参考）： 两位画家各画一幅画，看上去都是「白纸上一条横线」：一幅画的是 actio = reactio（画面上半与下半在「较劲」，第 3 公理），另一幅画的是一个粒子以恒定速度直线飞行（第 1 公理）。考题：„Warum hat das Bild zum 1. Axiom gewonnen und das zum 3. verloren?" 合理物理解读（口径以课堂记忆为准）：匀速直线运动的全部物理内容恰好就是一条线——看不见任何东西＝没有力，画面完整而忠实；而第 3 公理的两个力作用在不同物体上，静态画面里的「较劲」完全不可见，与「什么都没发生」无法区分——图像无法承载它的物理内容。