目标公式：

$$\text{地面系：}d=v\cdot t=v\cdot \gamma \tau \text{μ 子系：}\ell =\frac{{\ell }_0}{\gamma }$$

适用范围/假设：

• 惯性系（地面近似为惯性系；μ 子匀速直线飞行，$v=\text{const}$）。
• $\gamma$ 因子 $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$ 不在此自证——Formelnheft S. 5 直接给出，考场可直接引用。
• $\tau =2,2\mu$s 是平均寿命（指数衰变的平均值），下面的计算把它当"典型寿命"用——这是一个统计近似，结论（经典彻底失败、相对论自洽）不受影响。
• ★ 真题相关：Naturphänomene 卷（宇宙射线/μ 子佯谬）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$	Gamma-Faktor	✅ S. 5 („$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$")
$t=t_0\cdot \gamma$	Zeitdilatation（时间膨胀）	✅ S. 5 („Zeitdilatation $t=t_0\cdot \gamma$")
$\ell ={\ell }_0\cdot {\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$	Längenkontraktion（长度收缩）	✅ S. 5 („Längenkontraktion $l=l_0\cdot (1/\gamma )$")
$v={\displaystyle \frac{s}{t}}$	匀速运动定义	❌ 不在 Formelnheft——基本定义，考场需自己写出
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit（光速）	✅ S. 1（常数表）

推导（Schritt für Schritt）

第 0 步——经典矛盾（为什么需要相对论）

1. 经典最大射程＝最大可能速度 × 寿命。没有什么比光快，故 $v\le c$：$$d_{\text{max}}=c\cdot \tau$$
2. 代入数字（$c\approx 3\cdot {10}^8$ m/s，$\tau =2,2\cdot {10}^{-6}$ s）：$$d_{\text{max}}\approx 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 660\text{m}$$
3. μ 子在 $h\approx 20$ km 高空产生：$660\text{m}\ll 20\text{km}$——经典上 μ 子永远到不了地面。可我们在地面却大量测到它们 → 经典物理在此彻底失败（不是差一点：经典上能到达的份额只有 ${\mathrm{e}}^{-20000/660}\approx {10}^{-13}$）。

途径 A——时间膨胀（地面系视角）

1. 识别固有时间（Eigenzeit）。 寿命 $\tau =2,2\mu$s 是 μ 子用自己的钟测得的——钟相对 μ 子静止，所以 $\tau$ 就是 Formelnheft 公式里的 $t_0$（固有时间）。
2. 套用 Zeitdilatation（S. 5）。 在地面系看，运动的钟走得慢，μ 子"活"的时间被拉长为$$t=\gamma \tau$$
3. 算 $\gamma$（$v=\mathrm{0,999}5c$）：$$\frac{v^2}{c^2}=\mathrm{0,999}{5}^2=\mathrm{0,999}00025,1-\frac{v^2}{c^2}=\mathrm{9,997}5\cdot {10}^{-4}$$$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{9,997}5\cdot {10}^{-4}}}=\frac{1}{\mathrm{0,031}619}\approx 31,6$$（讲义口径取整说"约 32 倍"——同一数值，仅舍入不同。）
4. 拉长后的寿命：$$t=\gamma \tau \approx 31,6\cdot 2,2\mu \text{s}\approx 69,6\mu \text{s}$$
5. 飞行距离（匀速 $d=v\cdot t$）：$$d=v\cdot \gamma \tau \approx \mathrm{0,999}5\cdot \mathrm{2,997}9\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 6,96\cdot {10}^{-5}\text{s}\approx \mathrm{2,086}\cdot {10}^4\text{m}\approx \mathbf{21}\mathbf{km}$$
6. 结论 A： $21\text{km}\ge 20\text{km}$ ✓ —— 在地面系看，μ 子因时间膨胀"活"得足够久，能从产生高度走到地面。

途径 B——长度收缩（μ 子系视角）

1. μ 子自己毫无察觉。 在它自己的系里，寿命就是 $\tau =2,2\mu$s——没有变长。
2. 识别静止长度。 $20$ km 大气层厚度是在大气静止的系（地面系）里测得的——这是 Formelnheft 里的 ${\ell }_0$。
3. 套用 Längenkontraktion（S. 5）。 对 μ 子而言，大气迎面运动，因此被缩短：$$\ell =\frac{{\ell }_0}{\gamma }=\frac{20000\text{m}}{31,6}\approx \mathbf{630}\mathbf{m}$$
4. μ 子寿命内能走的路程：$$v\cdot \tau \approx \mathrm{0,999}5\cdot \mathrm{2,997}9\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 659\text{m}\approx 660\text{m}$$
5. 结论 B： $630\text{m}\le 660\text{m}$ ✓ —— 在 μ 子系看，要穿越的大气只剩约 630 m，它短暂的寿命刚好够用。

第 3 步——两视角对照＝相对论的自洽性

	时间	距离	结论
地面系（途径 A）	被拉长：$\gamma \tau \approx 69,6\mu$s	原长 20 km	到达 ✓
μ 子系（途径 B）	原寿命 $\tau =2,2\mu$s	被缩短：$20\text{km}/\gamma \approx 630$ m	到达 ✓

两个参考系对可观测事实（μ 子到达地面）给出同一结论——一方眼里被拉长的时间，正是另一方眼里被缩短的距离（二者都由同一个 $\gamma$ 联系）。这正是狭义相对论的自洽性：物理结论不依赖于参考系的选择。

✎ 写法提醒： 课堂笔记把公式写成 $t_b=t_r\sqrt{1-v^2/c^2}$（移项形式、下标命名不同），与 Formelnheft 的 $t=t_0\gamma$ 是同一个公式；内容不变：运动的钟显示更少的时间。

变量表

符号	含义	SI 单位
$\tau$（$=t_0$）	μ 子平均寿命＝固有时间（Eigenzeit，随动钟测得）	s（$2,2\cdot {10}^{-6}$ s）
$t$	地面系测得的（被拉长的）寿命	s
$\gamma$	洛伦兹因子（Gamma-Faktor）	—（无量纲，此处 $\approx 31,6$）
$v$	μ 子速度（$\mathrm{0,999}5c$）	m/s
$c$	真空光速 $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$（Formelnheft S. 1）	m/s
$d$	地面系中的飞行距离	m
${\ell }_0$	静止长度（大气厚度 $\approx 20$ km，地面系测得）	m
$\ell$	μ 子系中（被缩短的）大气厚度	m

关联

• 讲义出处：主题 6 §6.2（数字口径完全一致：660 m / γ≈32 / 21 km / 630 m）
• 宇宙射线背景：主题 6 §6.1、主题 12 §12.10
• 指数衰变（$\tau$ 是平均值）：H14