主题 9 — 量子物理与量子光学

量子化 · 发射/吸收 · 光电效应 · 双缝 · 退相干与薛定谔的猫 · 阿斯佩尔迈尔 · 海森堡 · 绝对零度 · 拉普拉斯妖

章节

• 9.1 能量的量子化
• 9.2 发射、吸收与光电效应
• 9.2a 玻尔原子模型与氢光谱
• 9.3 双缝实验
• 9.3a 薛定谔方程、德布罗意物质波与玻恩诠释
• 9.3b 隧道效应与势阱
• 9.4 退相干与薛定谔的猫
• 9.5 振动的镜子——马库斯·阿斯佩尔迈尔（维也纳大学）
• 9.6 海森堡不确定性原理
• 9.7 绝对零度
• 9.8 拉普拉斯妖
• 9.9 量子哲学
• 9.10 光学三领域

Selfcheck / 自测

1. 量子化（$E=hf$）是什么意思？谁认真对待了普朗克的公式，得出什么结论？
2. 线状光谱如何产生（发射/吸收）？
3. 光电效应中波动理论为何失效（两条论证）？
4. 写出光电效应方程。电子数量与能量各取决于什么？
5. 单光子双缝会发生什么？它如何反驳纯波动图像？
6. 什么是波函数 $|\psi {|}^2$？「哪条路」探测器会做什么？
7. 什么是退相干？薛定谔的猫说明了什么？
8. 阿斯佩尔迈尔研究什么？为什么绝对零度对它重要？
9. 写出海森堡不确定性原理。为什么它不是测量误差？
10. 什么是拉普拉斯妖？它被什么推翻？
11. **计算：**原子中电子从 $E_3=11,7$ eV 跃回 $E_1=9,15$ eV，求所发光子的能量、频率与波长。再用数字说明：红光为什么打不出锌板上的电子？
12. 描述光电效应的学校实验（Hallwachs）。为什么带正电的锌板不放电？玻璃板证明了什么？
13. 零点能如何从不确定性原理推出？阿斯佩尔迈尔的镜子与引力有什么关系？
14. 解释玻尔原子模型（两条假设）和主量子数 $n$。哪个谱系是可见的？为什么玻尔模型尽管有缺陷却仍值得称道？
15. 计算：用里德伯公式算出 $H_{\alpha }$ 谱线（$n_2=3\to n_1=2$）的波长。得到什么颜色？
16. 德布罗意波长怎么写？哪个实验证明了物质波？薛定谔方程起什么作用？玻恩诠释（含归一化）说了什么？
17. 什么是隧道效应（为什么能发生？）？举两个应用。势阱如何解释能量的量子化？

§§ANTWORTEN

1. 能量只以离散份额（量子）交换：$E=h\cdot f$。爱因斯坦认真对待普朗克公式，并于 1905 年得出：光由光子组成，每个光子能量为 $hf$。(§9.1)
2. 电子占据离散能级；吸收时电子跃迁到高能级，发射时跃回并放出能量 $\mathrm{\Delta }E=h\cdot f$ 的光子。这些量子跃迁形成各元素特有的线状光谱。(§9.2)
3. 经典上能量 $\propto A^2$，那么很亮的红光也应打出电子——但并不能。而弱紫外光本应有起振时间——实际上电子立即逸出。(§9.2)
4. $E_{\gamma }=h\cdot f=E_{\text{kin}}+E_A$。电子的数量取决于强度（光子数），但单个电子的动能只取决于频率 $f$。(§9.2)
5. 单个光子打成点；积累许多后出现干涉图样。光子「同时走两条路」（叠加态）并与自己干涉——可单个光子仍只打在一个位置，这反驳了纯波动图像。(§9.3)
6. $|\psi {|}^2$ 是在某处出现的概率（$\psi$ 为复数 → 取模平方）。「哪条路」探测器会使干涉图样消失——波函数坍缩（退相干）。(§9.3)
7. 退相干 = 测量时波函数坍缩到一个状态（粒子越多越快）。薛定谔的猫揭示把量子叠加态（死+活）搬到宏观世界的荒谬性。(§9.4)
8. 阿斯佩尔迈尔研究宏观量子光力学：一面微小的镜子处于叠加态。需要绝对零度（量子基态）才能让宏观物体上的量子效应得以显现。(§9.5)
9. $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$：位置与动量无法同时任意精确确定。这不是测量误差，而是基本原理（波粒二象性的后果）。(§9.6)
10. 一个能从每个粒子的位置和动量算出整个未来的设想之物 → 决定论。被海森堡不确定性（输入数据无法获取）和量子随机性（如放射性衰变）推翻。(§9.8)
11. $\mathrm{\Delta }E=2,55$ eV $\approx 4,09\cdot {10}^{-19}$ J；$f=\mathrm{\Delta }E/h\approx 6,2\cdot {10}^{14}$ Hz；$\lambda =c_0/f\approx 490$ nm（可见蓝绿光）。红光光子仅 $\approx 1,8$ eV $<E_A(\text{锌})\approx 4,3$ eV——单个光子能量不够，而光子不会「凑份」，故亮度再高也没用。(§9.2)
12. 验电器上带负电的锌板被紫外灯照射 → 放电、指针落下。插入玻璃板（吸收紫外）→ 效应停止：证明起作用的是紫外成分。带正电时，被打出的电子立刻被正电荷拉回，故不放电。(§9.2)
13. 完全静止意味着 $\mathrm{\Delta }x=0$ 且 $\mathrm{\Delta }p=0$，违背 $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$ → 必留零点能（残余运动）。镜子质量可观，其引力场原则上可测；若它处于叠加态，便可首次在实验上探问「引力场是否也叠加 / 引力是否量子化」。(§9.5/§9.7)
14. 两条假设（玻尔 1913）：（1）电子只在离散轨道上无辐射地运动；（2）能量只在轨道间跳跃时以一个光子交换（$\mathrm{\Delta }E=hf$）。主量子数 $n=1,2,3,\dots$ 给轨道编号（$n=1$ = 基态）。可见的是巴尔末系（$n_1=2$）。值得称道之处：尽管模型半经典且只适用于氢（后被量子力学取代），它能正确算出氢谱线。(§9.2a)
15. $\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})=\mathrm{1,097}\cdot {10}^7\cdot \frac{5}{36}\approx 1,52\cdot {10}^6{\mathrm{m}}^{-1}$ → $\lambda \approx 656$ nm —— 红光。(§9.2a)
16. $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{mv}}$（德布罗意波长）。由戴维森-革末实验证明（1927 年电子在镍晶体上的衍射）。薛定谔方程 $i\hslash {\partial }_t\psi =\hat{H}\psi$ 决定 $\psi$ 的时间演化（量子力学基本方程）。玻恩诠释：$|\psi {|}^2$ 是概率密度，并有归一化 $\int |\psi {|}^2\mathrm{d}V=1$（粒子必定在某处）。(§9.3a)
17. 隧道效应：粒子穿透一道它经典上无法越过的势垒，因为 $\psi$ 在势垒中不会立刻变零（只指数衰减）→ 势垒另一侧有有限的出现概率。应用如 α 衰变和扫描隧道显微镜（STM）（还有隧道二极管）。在势阱中 $\psi$ 在壁上须为零 → 只有某些驻波能放入 → 离散能级正是边界条件的后果。(§9.3b)