13.5 干涉与衍射

来源： 课堂笔记 §6.2.4 · §6.2.6

干涉 = 波的叠加。两列波在同一处相遇时，它们的偏移逐点相加（叠加原理）。结果取决于二者「步调」如何相对——由相位差 $\mathrm{\Delta }\phi$ 衡量。

干涉	条件（相位）	等价（光程差）
相长（峰 + 峰）	$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$	$\mathrm{\Delta }s=n\lambda$
相消（峰 + 谷）	$\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$	$\mathrm{\Delta }s=(n+\frac{1}{2})\lambda$

✎ 为何是这些条件？（相位 ↔ 光程差，逐步）

1. 一整个周期对应 $2\pi$。 把一列波平移恰好一个波长 $\lambda$，它又「完全重合」——对应相位转过 $2\pi$。
2. 路程换算相位： 因此一个光程差 $\mathrm{\Delta }s$（两波的路程之差）对应相位差 $\mathrm{\Delta }\phi ={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\mathrm{\Delta }s$。（$\mathrm{\Delta }s\dots$ 路程差；$\mathrm{\Delta }\phi \dots$ 相位差。）
3. 相长（峰遇峰）： 两波须「同相」→ $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$（$n=0,1,2,\dots$）。代入第 2 步：${\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\mathrm{\Delta }s=2\pi n\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }s=n\lambda }}$——路程差是 $\lambda$ 的整数倍。振幅相加 → 最亮。
4. 相消（峰遇谷）： 两波须「反相」→ $\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$（$\pi$ 的奇数倍，即错开半个周期）。代入：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }s=(n+\frac{1}{2})\lambda }}$——路程差差了半个波长。峰谷抵消 → 黑暗。

✎ 相消干涉的日常应用——主动降噪（Mappe 测验题）。 降噪耳机实时拾取噪声，发出一列反相（错开 $\pi$ = 半个波长）的声波 → 相消干涉。对低频效果最好：波长以米计，相位容易精确对上；高频波长只有厘米级，稍有错位「反相」就失效。

衍射 = 波在缝或障碍处偏离直线传播。 ✎ 为何会发生？ 按惠更斯原理，波前每点都是新圆形子波的出发点。在窄口（尺寸 $\approx \lambda$）处只剩少数这样的中心——其子波呈圆形扩展，也就「拐进」几何阴影区。正是这种绕行加上随后的干涉，才形成条纹。一个特例是**薄膜干涉**（见主题 6 及下方 §13.5a）——肥皂泡等的虹彩。

✎ 激光笔过极窄缝——光斑反而变宽。 用激光笔照一条极窄的缝，缝后的光斑不是更窄、反而比缝更宽（中央一条亮纹，两侧有暗淡的条纹）。原因：当缝宽接近波长 $\lambda$（$d\approx \lambda$）时，衍射变得显著（进入波动光学区，§13.7）。缝越窄，光展得越宽。 ✎ 这与海森堡不确定性同源：把位置限制得越窄（$\mathrm{\Delta }x$ 越小 = 缝越窄），方向/动量就越发散（$\mathrm{\Delta }p$ 越大 = 光斑越宽）——见主题 9。

图：黑板图「衍射」——平面波前到达狭缝，在缝后扩展成弯曲的波前。

用光栅测波长

来源： Mappe（Friedl）第 29 页

用光栅（光栅常数 $d$ = 相邻两缝的间距，此处 $d={10}^{-5}$ m）可以直接测出光的波长。在光源前放一片滤色片，在屏上量出第 0 级与第 1 级衍射极大之间的距离 $s$；$D$ 为光栅到屏的距离。

✎ $\lambda =ds/D$ 的推导——逐步。

1. 思路： 每条缝都发出一列波（衍射）。沿某斜方向 $\phi$，相邻两缝的波有一个光程差 $\mathrm{\Delta }s$。在它们相长干涉处出现一个亮极大——即 $\mathrm{\Delta }s=n\lambda$（来自上面的 §13.5）。
2. 光程差的几何： 从两缝沿 $\phi$ 方向各画一条光线，路程差是以 $d$ 为斜边的小直角三角形的对边：$\mathrm{\Delta }s=d\cdot \sin \phi$。
3. 代入极大条件： $d\cdot \sin \phi =n\lambda$。对第 1 级取 $n=1$：$d\cdot \sin \phi =\lambda$。
4. 小角近似： 屏离得远（$D$ 大），角 $\phi$ 很小。小角时 $\sin \phi \approx \tan \phi$。而 $\tan \phi$ 可直接在屏上读出：$\tan \phi ={\displaystyle \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}}={\displaystyle \frac{s}{D}}$（极大到中心的距离除以光栅到屏的距离）。
5. 合并： 把 $\sin \phi \approx \tan \phi ={\displaystyle \frac{s}{D}}$ 代入 $\lambda =d\sin \phi$ →

$$\sin \phi \approx \tan \phi =\frac{s}{D}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \lambda =d\cdot \frac{s}{D}}}$$

✎ 右边三个量都可测（$d$ 印在光栅上，$s$ 和 $D$ 用尺量）→ 极小的波长便被间接测出。

由此（取 $D=3$ m）得到如下测量结果：

颜色	$s$ / m	$\sin \phi =s/D$	$\lambda =d\frac{s}{D}$	$f=c/\lambda$
红	0,195	0,065	$650\cdot {10}^{-9}$ m	$4,6\cdot {10}^{14}$ Hz
黄	0,175	0,058	$580\cdot {10}^{-9}$ m	$5,2\cdot {10}^{14}$ Hz
绿	0,160	0,053	$530\cdot {10}^{-9}$ m	$5,7\cdot {10}^{14}$ Hz
蓝	0,145	0,048	$480\cdot {10}^{-9}$ m	$6,2\cdot {10}^{14}$ Hz

✎ 算一行看看（红）： 测得 $s=\mathrm{0,195}$ m，$D=3$ m。(1) $\sin \phi \approx s/D=\mathrm{0,195}/3=\mathrm{0,065}$。(2) $\lambda =d\cdot s/D={10}^{-5}\text{m}\cdot \mathrm{0,065}=6,5\cdot {10}^{-7}\text{m}=650$ nm。(3) 频率 $f=c/\lambda =3\cdot {10}^8/(6,5\cdot {10}^{-7})\approx 4,6\cdot {10}^{14}$ Hz。其余颜色同理。

红色谱色波长最长，紫色波长最短。 ✎ 为何合理？ 红光（可见色中）频率最低；由 $c=\lambda f$，$f$ 小则 $\lambda$ 最大。蓝/紫反之。✎ 光进入介质时频率不变、波长变短——所以唯一确定谱色的是频率（而非 $\lambda$）。如此测得的波长出奇地小——约为一个原子直径的千倍（$\approx {10}^{-10}$ m）。光栅光谱与棱镜光谱相反，是对称的（0 级极大左右两侧分裂相同）。✎ 原因：衍射在两侧都产生极大（±1 级等，因 $\mathrm{\Delta }s=n\lambda$ 对 $\pm \phi$ 两个斜向都满足），而棱镜（靠折射）只把光向一个方向展开。

13.5a 牛顿环与薄膜干涉

来源： ➕ 考纲 · 参 主题 6

肥皂泡、油膜为何会现虹彩？不是靠色素，而是靠薄膜干涉。光在两个界面（上、下）各反射一次，这两束分光相互叠加。

✎ 基本原理，逐步。

1. 光照到一层厚度 $d$ 的薄膜。一部分在上表面反射，一部分进入薄膜、穿过它、在下表面反射。
2. 第二束多走了穿过薄膜来回的路 → 几何光程差 $\approx 2d$（垂直入射时）。
3. 两束相长（亮）还是相消（暗），取决于 $2d$ 与 $\lambda$ 的关系——再加上反射时的一个相位跃变（下文）。
4. 因为条件依赖 $\lambda$，不同颜色在不同膜厚处满足 → 「白」光下随膜厚看到不同颜色亮起 = 虹彩。

✎ 相位跃变——固定端 vs 自由端（决定「亮还是暗」）。 波反射时有两种情形（绳波里见过）：

• 在光密介质上反射（如从空气到玻璃）= 「固定端」→ 波跃变 $\pi$（半个波长），就像绳子固定在墙上、反相返回。
• 在光疏介质上反射 = 「自由端」→ 无相位跃变。

若两束中只有一束跃变（单层膜/牛顿环就是这样），就在几何光程差上额外加 $\lambda /2$——这会把「亮」「暗」的角色对调。

牛顿环是干净的实验案例：一块平凸透镜（下面略弯）放在一块平玻璃板上。两者之间是一个空气楔，其厚度 $d$ 从接触点向外增大。从上方照明可见同心的明暗环。

✎ 推导：暗环及其半径——逐步。

1. 相位跃变账： 下束在空气 → 玻璃板（变密）界面反射 → 跃变 $\lambda /2$；上束在玻璃透镜 → 空气（变疏）界面反射 → 无跃变。于是净多出一个 $\lambda /2$。
2. 变暗（相消）条件： 几何光程差 $2d$ 加上跃变的 $\lambda /2$ 须错开半个波长。算下来，$\lambda /2$ 恰好使暗环位于

$$2d=k\lambda (k=0,1,2,\dots )$$

（$k\dots$ 环的级数）。特别地中心是暗的（$d=0\Rightarrow k=0$）——这是牛顿环的著名标志，只有靠相位跃变才能解释。 3. 几何：厚度 ↔ 半径。 对曲率半径很大的透镜 $R$、环半径 $r$（从接触点量），由圆几何近似（$d\ll R$）：

$$r^2=2Rd\Rightarrow d=\frac{r^2}{2R}$$

（$R\dots$ 透镜曲率半径；$r\dots$ 环半径；$d\dots$ 该处空气隙厚度）。简短理由： 圆方程 $r^2+(R-d{)}^2=R^2$ 展开得 $r^2=2Rd-d^2$；因 $d$ 极小，$d^2$ 略去 → $r^2\approx 2Rd$。 4. 代入 → 测波长。 把 $d={\displaystyle \frac{r^2}{2R}}$ 代入暗环条件 $2d=k\lambda$：

$$2\cdot \frac{r^2}{2R}=k\lambda \Rightarrow \frac{r^2}{R}=k\lambda \Rightarrow \boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r^2}{kR}}}$$

5. 应用： 测出第 $k$ 个暗环的半径 $r$、已知 $R$，即得波长 $\lambda$——这是独立于 §13.5 的又一种测法。反过来，牛顿环也可用来检验玻璃面是否完美平整/球面（任何不平都会使环变形）。

13.5b 折射与斯涅尔定律

来源： ➕ 考纲 · 承接 §13.1（牛顿/惠更斯）

折射 = 光进入另一介质时方向改变。它正是水中吸管看起来「折断」、透镜能会聚光的原因。

✎ 光线为何会拐？（波动图像，直观） 在光密介质中光更慢（$c=c_0/n$，$n\dots$ 折射率 $\ge 1$）。一列斜入射的波前到达界面时，它的一端比另一端先进入慢介质而被减速——波前于是「转向」，就像右侧车轮先陷进沙地的汽车。此时频率 $f$ 不变（界面以同一节律「振动」）；由 $c=\lambda f$，慢介质中波长变短。

定量地，斯涅尔折射定律描述与法线的两个角：

$$\boxed{{\displaystyle n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2}}\text{即}\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{c_1}{c_2}$$

符号	含义
${\alpha }_1,{\alpha }_2$	入射角 / 折射角（相对法线，即界面的垂线）
$n_1,n_2$	两介质的折射率（$n=c_0/c$）
$c_1,c_2$	光在两介质中的速度

✎ 怎么读？——规则「越密 ⇒ 越靠近法线」。

1. 光从疏 → 密（如空气 → 玻璃，$n_2>n_1$）：由 $n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$ 得 $\sin {\alpha }_2={\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}\sin {\alpha }_1<\sin {\alpha }_1$ → ${\alpha }_2<{\alpha }_1$，光线折向法线。
2. 反之（密 → 疏）折离法线。
3. 这正是 §13.1 那场争论的关键： 波动用玻璃中光更慢（$c_2<c_1$）解释「折向法线」——傅科恰好证实了这点；牛顿的粒子图像却需要光更快（错）。

✎ 全反射（密 → 疏 的特例）： 增大 ${\alpha }_1$，${\alpha }_2$ 增长更快，到某临界角时达 $90°$（折射光沿界面走）。再大就没有折射光了——光被完全反射。这正是光纤原理：光靠全反射「被困在缆中」。