目标公式：

$$v=\sqrt{2gh},h=\frac{v^2}{2g}$$

适用范围/假设： 封闭系统（无摩擦、忽略空气阻力）；地表附近均匀重力场（$g=\text{konst.}$，$h\ll R_E$）；自由落体从静止出发（$v_0=0$）。

★ 真题相关： $h=v^2/(2g)$ 正是 Boeing 真题追问（„In welcher Höhe wären beide Energieformen gleich groß?"）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie（动能）	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$E_{\text{pot}}=mgh$	Potentielle Energie（势能）	✅ S. 2 („Potentielle Energie")
$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{konst.}$	Energieerhaltungssatz（能量守恒定律）	❌ 不在 Formelnheft（只有各能量形式在册）——守恒定律本身考场需自己陈述
$v=\sqrt{2gh}$，$h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}$	落体末速度 / 等能高度	❌ 不在 Formelnheft——考场需现场推（见下）

推导（Schritt für Schritt）

A）自由落体末速度 $v=\sqrt{2gh}$（质量相消！）

1. 写出守恒定律与两个状态。 封闭系统中总能量守恒。比较起点（高度 $h$、静止）与落地（高度 $0$、速度 $v$）：
   • 起点：$E_{\text{ges}}=E_{\text{pot}}=mgh$（$v_0=0$ ⇒ $E_{\text{kin}}=0$；零点取在地面）。
   • 落地：$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$（$h=0$ ⇒ $E_{\text{pot}}=0$）。
2. 令相等（能量守恒：两个状态的总能量相同，且无摩擦损耗）：$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$
3. 约掉质量 $m$（两边同除以 $m$，允许因为 $m>0$）：$$gh=\frac{1}{2}{v}^2$$这一步是重点：末速度与质量无关——重物与轻物（真空中）落得一样快，与伽利略结论一致。
4. 两边同乘 2（把分数清掉）：$$v^2=2gh$$
5. 开平方（取正根，因为速度大小 $v\ge 0$）：$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{2gh}}}$$
6. 独立验算（与 H01 交叉核对）： 由 H01，$t=2,5$ s 时 $h\approx 30,7$ m、$v\approx 24,5$ m/s。代入：$\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 30,7}=\sqrt{602,3}\approx 24,5$ m/s ✓——运动学与能量法给出同一答案。 量级例（讲义雨滴）： 若无空气阻力，雨滴从 $h=2000$ m 落下将达 $v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 2000}\approx 198$ m/s ✓（实际因终极速度只有 7–9 m/s）。

B）★ 等能高度 $h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}$（Boeing 真题追问）

问题： 飞机以速度 $v$ 飞行——在什么高度上 $E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}$？

1. 写出条件（题目要求两种能量形式相等）：$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$
2. 约掉质量 $m$（两边同除以 $m$）——答案与飞机多重无关：$$gh=\frac{1}{2}{v}^2$$
3. 解出 $h$（两边除以 $g$）：$$\boxed{{\displaystyle h=\frac{v^2}{2g}}}$$（形式上正是 A 的第 4 步对 $h$ 求解——同一条方程的两种读法。也与刹车距离 $S_B=v^2/(2a_B)$ 同构：把 $a_B\to g$。）
4. 真题数值（独立验算）： $v=946$ km/h $=946/3,6\approx 262,8$ m/s：$$h=\frac{262,8^2}{2\cdot 9,81}\approx \frac{69060}{19,62}\approx 3520\text{m}$$（讲义给 $\approx 3519$ m——用未先舍入的 $v=946/3,6$ 计算即得，纯舍入差异，约 3,5 km。）✓
5. 口试加分（老师原话的哲学弯钩）： 在匀速平飞的机舱里无法通过任何实验察觉「两种能量恰好相等」——$E_{\text{kin}}$ 依赖参考系，而一切匀速运动参考系等价（相对性原理）。

C）单摆与弹球的能量循环（定性 + 公式）

单摆（Fadenpendel）： 理想摆（无摩擦、无空气阻力）中两种能量形式周期性互换，总和不变：

1. 最高点（两侧转折点）： $v=0$ ⇒ $E_{\text{kin}}=0$，全部能量为 $E_{\text{pot}}=mgh$（$h$ 为相对最低点的抬升高度）。
2. 最低点： $h=0$ ⇒ $E_{\text{pot}}=0$，全部能量为 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2$。
3. 由 A 的同一条方程（$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2$，$m$ 相消）得最低点速度与回升高度：$$v_{\text{max}}=\sqrt{2gh},h=\frac{v_{\text{max}}^2}{2g}$$⇒ 理想摆总回到同一高度（能量守恒的直接体现）。
4. 真实摆：摩擦与空气阻力在每个周期抽走一点机械能（转为热）⇒ 振幅缓慢衰减——能量并未消失，只是离开了「动能+势能」这个账户。

弹球（springender Ball）： 下落 $E_{\text{pot}}\to E_{\text{kin}}$；触地瞬间动能短暂变为形变能（弹性势能）再弹回动能；上升 $E_{\text{kin}}\to E_{\text{pot}}$。每次碰撞都有一部分能量转为热与声（非完全弹性）⇒ 回弹高度逐次降低；只有理想完全弹性球才会回到原高度 $h=v^2/(2g)$。

变量表

符号	含义	SI 单位
$E_{\text{kin}}$	动能	J
$E_{\text{pot}}$	势能	J
$E_{\text{ges}}$	总能量（封闭系统中守恒）	J
$m$	质量（每条推导中都被约掉）	kg
$v$	速度（A：落地末速度；B：飞行速度）	m/s
$v_{\text{max}}$	摆在最低点的速度	m/s
$h$	高度（相对所选零点）	m
$g$	重力加速度 $=\mathrm{9,807}$ m/s²（Formelnheft S. 1；讲义计算用 $9,81$）	m/s²

关联

• 所用能量公式的来历（$E_{\text{kin}}$、$E_{\text{pot}}$ 推导）→ H02
• 同构公式 $S_B=v^2/(2a_B)$（把 $g\to a_B$）→ H01
• 同一能量法在引力场大距离上的版本（逃逸速度）→ H06
• 讲义出处：主题 8 §8.5 能量守恒（$v=\sqrt{2gh}$、Boeing 真题、参考系讨论）、主题 5 §5.2（雨滴 198 m/s 例）