Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle R_S=\frac{2GM}{c^2}}}\text{sowie}\rho =\frac{3c^6}{32\pi G^3{M}^2}\propto \frac{1}{M^2}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• Heuristische (newtonsche) Herleitung: klassische kinetische Energie und Fluchtgeschwindigkeit, Licht als „Wurfkörper mit $c$" behandelt — siehe den eigenen Abschnitt „Warum nur heuristisch".
• Masse $M$ kugelsymmetrisch, nicht rotierend, ungeladen (genau die Voraussetzungen der Schwarzschild-Lösung).
• „Volumen" in der Dichteformel = Kugelvolumen innerhalb des Ereignishorizonts (Konvention für die mittlere Dichte, keine reale Materieverteilung — die ART sagt den Kollaps zur Singularität voraus).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	kinetische Energie	✅ S. 2 („$E_{\text{kin}}=\frac{m{v}^2}{2}$")
$W=GMm({\displaystyle \frac{1}{r_1}}-{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$	Gravitationsenergie	✅ S. 2 („Gravitationsenergie")
$v_F=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$	Fluchtgeschwindigkeit	❌ nicht im Formelnheft — selbst herleiten (Schritte 1–2; ausführlich in [[themen/Raumfahrtphysik/2.4#2.4 Fluchtgeschwindigkeit
$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$	Dichte	✅ S. 2 („$\rho =\frac{m}{V}$")
$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$	Kugelvolumen	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft — selbst hinschreiben
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit	✅ S. 1 (Konstanten)

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) Schwarzschildradius

1. Zuerst die Fluchtgeschwindigkeit herleiten (Energieerhaltung: an der Oberfläche $r_1=R$ erhält der Körper genau so viel kinetische Energie, dass er den Potenzialtopf bis $r_2\to \mathrm{\infty }$ verlässt und dort mit $v=0$ ankommt. Die nötige Hubarbeit liefert die Gravitationsenergie von S. 2, mit $\frac{1}{r_2}\to 0$ für $r_2\to \mathrm{\infty }$):$$\frac{m{v}_F^2}{2}=GMm(\frac{1}{R}-\underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}})=\frac{GMm}{R}$$
2. $m$ kürzen und nach $v_F$ auflösen (durch $m\ne 0$ dividieren, mal 2, Wurzel ziehen — die Fluchtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des Wurfkörpers):$$v_F=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
3. $v_F=c$ setzen (definierende Bedingung des schwarzen Lochs) (am Ereignishorizont ist die Fluchtgeschwindigkeit genau gleich der Lichtgeschwindigkeit: selbst Licht entkommt gerade nicht mehr. Einsetzen und quadrieren):$$c^2=\frac{2GM}{R}$$
4. Nach $R$ auflösen (beide Seiten mal $\frac{R}{c^2}$ — der kritische Radius heißt Schwarzschildradius):$$\boxed{{\displaystyle R_S=\frac{2GM}{c^2}}}$$Jeder Körper hat seinen eigenen $R_S$: Wird die Masse $M$ auf weniger als $R_S$ komprimiert, wird sie zum schwarzen Loch.

Warum nur heuristisch (in der Prüfung unbedingt ansprechen!)

• Licht hat keine Ruhemasse: Schritt 1 behandelt Licht als Wurfkörper der Masse $m$ — für Photonen unzulässig ($m$ kürzt sich zwar, aber die Logik beruht auf dem Bild eines massebehafteten Wurfkörpers).
• $\frac{1}{2}m{v}^2$ ist bei $v\approx c$ nicht zulässig: Die klassische kinetische Energie ist nur die Niedriggeschwindigkeits-Näherung; nahe $c$ gilt die relativistische Energie (Formelnheft S. 5: $E_{\text{kin}}=(m-m_0)c^2$) — die newtonsche Mechanik ist hier ohnehin außerhalb ihres Geltungsbereichs.
• Die strenge Herleitung gehört zur ART: 1916 fand Karl Schwarzschild die exakte Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen für das kugelsymmetrische Vakuum; der Ereignishorizont liegt bei $R_S=2GM/c^2$.
• Gleiches Ergebnis = Zufall: Die newtonsche Rechnung liefert exakt dieselbe Formel — sogar der Faktor 2 stimmt — das ist ein glücklicher Zufall, kein Verdienst der Argumentation. In der Prüfung aktiv darauf hinweisen (Skript-Wortlaut: „glücklicher Zufall").

Rechenbeispiele (mit Probe)

5. Erde ($M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg, S. 1):$$R_S=\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8{)}^2}=\frac{\mathrm{7,973}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}\approx 8,9\cdot {10}^{-3}\text{m}\approx 9\text{mm}✓$$
6. Sonne ($M_S=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg, S. 1):$$R_S=\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}=\frac{\mathrm{2,655}\cdot {10}^{20}}{\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}}\approx 2,95\cdot {10}^3\text{m}\approx 3\text{km}✓$$

B) Mittlere Dichte eines schwarzen Lochs

7. Definition der mittleren Dichte ansetzen ($\rho =m/V$ von S. 2, Volumen = Horizontkugel $V=\frac{4}{3}\pi R_S^3$):$$\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R_S^3}=\frac{3M}{4\pi R_S^3}$$
8. Zuerst $R_S^3$ berechnen (Schritt 4 als Ganzes hoch 3 — Zähler und Nenner getrennt potenzieren):$$R_S^3={\left(\frac{2GM}{c^2}\right)}^3=\frac{8G^3{M}^3}{c^6}$$
9. Einsetzen und vereinfachen (Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrwert; $M$ kürzt sich einmal, im Nenner bleibt $M^2$):$$\rho =\frac{3M}{4\pi }\cdot \frac{c^6}{8G^3{M}^3}=\boxed{{\displaystyle \frac{3c^6}{32\pi G^3{M}^2}}}\propto \frac{1}{M^2}$$Anschaulicher Grund: $R_S\propto M$ → Volumen $\propto M^3$, Masse aber nur $\propto M$ → Dichte $\propto M/M^3=1/M^2$. Je größer das schwarze Loch, desto kleiner die mittlere Dichte.
10. Probe: schwarzes Loch von Sonnenmasse ($c^6=(c^2{)}^3=(\mathrm{8,987}\cdot {10}^{16}{)}^3=7,26\cdot {10}^{50}$; $G^3=(\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}{)}^3=2,97\cdot {10}^{-31}$; $M_S^2=\mathrm{3,956}\cdot {10}^{60}$):$$\rho =\frac{3\cdot 7,26\cdot {10}^{50}}{32\pi \cdot 2,97\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{3,956}\cdot {10}^{60}}=\frac{2,18\cdot {10}^{51}}{1,18\cdot {10}^{32}}\approx 1,8\cdot {10}^{19}\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}(\approx 2\cdot {10}^{19})$$Gegenprobe (ohne Formel, direkt $\rho =M/V$): $R_S=2953$ m → $V=\frac{4}{3}\pi \cdot (2953{)}^3=1,08\cdot {10}^{11}$ m³ → $\rho =\frac{\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}}{1,08\cdot {10}^{11}}\approx 1,8\cdot {10}^{19}$ kg/m³ ✓ (weit über Kernmateriedichte $\sim {10}^{17}$ kg/m³). Größenordnung umgekehrt: supermassives Loch mit $M\sim {10}^9{M}_{\odot }$ → $\rho$ um Faktor ${10}^{18}$ kleiner → $\approx 18$ kg/m³, dünner als Wasser.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$R_S$	Schwarzschildradius (Radius des Ereignishorizonts)	m
$M$	Masse des Himmelskörpers / schwarzen Lochs	kg
$m$	Wurfkörper (Probemasse, wird gekürzt)	kg
$v_F$	Fluchtgeschwindigkeit	m/s
$R$	Abstand des Startpunkts vom Massenmittelpunkt (Oberflächenradius)	m
$r_1,r_2$	Start-/Zielabstand in der Gravitationsenergie-Formel	m
$\rho$	mittlere Dichte (innerhalb des Horizonts)	kg/m³
$V$	Volumen der Horizontkugel	m³
$c$	Vakuumlichtgeschwindigkeit $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s (Formelnheft S. 1; im Skript $c_0$)	m/s
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$ (Formelnheft S. 1)	N·m²/kg²
$M_E,M_S$	Erd-/Sonnenmasse $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ / $\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg (Formelnheft S. 1)	kg

Verknüpfungen

• H08 — die Kombination $GM$ und „jeder Himmelskörper in derselben Formelmaschine".
• Thema 11 §11.7 — Skript-Fassung (inkl. Nachfrage „Ist das streng?", Singularität, LHC-Klage); §11.7 mittlere Dichte.
• Thema 2 §2.4 — vollständige Energieerhaltungs-Herleitung der Fluchtgeschwindigkeit (ausführliche Version der Schritte 1–2).