Zielformeln:

$$\text{①}c=\lambda f\text{②}d\sin {\phi }_k=k\lambda \text{③}{d}_{\text{Schicht}}=\frac{\lambda }{4n}\text{④}\lambda =\frac{r_k^2}{kR}$$

Gültigkeit/Annahmen:

• ① gilt für jede periodische Welle (Schall, Wasser, Licht); einzige Voraussetzung: die Wellenform verschiebt sich mit konstanter Geschwindigkeit $c$.
• ② Fraunhofer-Bedingung (Fernfeld): Schirm weit weg ($D\gg d$), austretende Strahlen näherungsweise parallel; Spaltabstand $d$ konstant.
• ③ senkrechter Einfall; Brechungsindex der Schicht liegt zwischen den Nachbarmedien ($n_{\text{Luft}}<n_{\text{Schicht}}<n_{\text{Glas}}$), daher haben beide reflektierten Wellen einen $\pi$-Sprung.
• ④ Kleinwinkel-/Dünnschicht-Näherung $d\ll R$ (Luftspalt viel dünner als Krümmungsradius); monochromatisches Licht, senkrechter Einfall; dunkle Ringe im reflektierten Licht.

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$v=\lambda \cdot f$	Wellengeschwindigkeit	✅ S. 3 („Wellengeschwindigkeit")
$f=1/T$	Frequenz–Periode	✅ S. 2 („$f=1/T$")
$\sin {\phi }_k=k\cdot \lambda /d$	Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt	✅ S. 4 („Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt") — umgestellte Form der Zielformel ②
${\lambda }_n={\lambda }_0/n$	Wellenlänge im Medium	✅ S. 4 („Wellenlänge im Medium")
konstruktiv $\mathrm{\Delta }s=k\lambda$ / destruktiv $\mathrm{\Delta }s=(k+\frac{1}{2})\lambda$	Interferenzbedingungen	❌ nicht im Formelnheft — selbst anschreiben (Begründung in ② Schritt 3)
Reflexion am dichteren Medium: Sprung $\pi$; am dünneren: kein Sprung	Phasensprung	❌ nicht im Formelnheft — Wellensatz, selbst formulieren
$r^2=d(2R-d)$	Höhensatz / Kreisgeometrie	❌ Mathematik, nicht im Formelnheft
$c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Lichtgeschwindigkeit	✅ S. 1 (Konstantentabelle)

Herleitung (Schritt für Schritt)

① $c=\lambda f$ — direkt aus den Definitionen

1. Schlüsselbeobachtung: Nach einer Periode $T$ sieht die Welle wieder genauso aus — nur um eine Wellenlänge $\lambda$ verschoben (genau das sind die Definitionen von $T$ und $\lambda$: zeitliche bzw. räumliche Periode).
2. Allgemeine Geschwindigkeitsformel (gleichförmig): $c={\displaystyle \frac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}}={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}$.
3. Einsetzen von $f={\displaystyle \frac{1}{T}}$ (S. 2):$$\boxed{{\displaystyle c=\lambda \cdot f}}$$
4. Probe (UKW-Sender 88,6 MHz): $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8\text{m/s}}{88,6\cdot {10}^6\text{Hz}}}\approx \mathrm{3,386}\text{m}$. (Mit dem genauen S.-1-Wert $c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$: $\lambda \approx \mathrm{3,384}$ m — ebenfalls $\approx 3,4$ m; das Skriptum rundet auf 3,3 m.) Radiowellen im Meterbereich vs. Lichtwellen im nm-Bereich unten.

② Maxima am Gitter/Doppelspalt: $d\sin {\phi }_k=k\lambda$

1. Geometrie: Benachbarte Spalte im Abstand $d$; Schirm weit weg ($D\gg d$) → die beiden Strahlen zum selben Schirmpunkt sind näherungsweise parallel, Winkel $\phi$ zur Normalen.
2. Geometrie des Gangunterschieds: Lot vom oberen Spalt auf den Strahl des unteren Spalts → rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $d$; der Mehrweg des unteren Strahls ist die Gegenkathete von $\phi$:$$\mathrm{\Delta }s=d\cdot \sin \phi$$
3. Gleichphasigkeit (warum ganzzahlige Vielfache von λ): Um eine Wellenlänge verschoben, deckt sich eine Welle exakt mit sich selbst (Phase $2\pi$). Konstruktive Interferenz (Berg auf Berg, maximale Helligkeit) verlangt also einen Gangunterschied von ganzzahligen Wellenlängen:$$\mathrm{\Delta }s=k\lambda ,k=0,1,2,\dots$$
4. 2 und 3 kombinieren:$$\boxed{{\displaystyle d\sin {\phi }_k=k\lambda }}⟺\sin {\phi }_k=\frac{k\lambda }{d}$$Die rechte Form ist wörtlich Formelnheft S. 4 „Interferenzmaxima beim Mehrfachspalt" — darf direkt zitiert werden.
5. Kleinwinkel-Erweiterung (Messexperiment im Skriptum): Für $D\gg s$ gilt $\sin \phi \approx \tan \phi ={\displaystyle \frac{s}{D}}$ → $\lambda =d\cdot {\displaystyle \frac{s}{D}}$. Probe (rote Zeile des Skriptums): $d={10}^{-5}$ m, $s=\mathrm{0,195}$ m, $D=3$ m → $\lambda ={10}^{-5}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,195}}{3}}=6,5\cdot {10}^{-7}$ m $=650$ nm ✓ (rot).

③ λ/4-Antireflexschicht: $d={\displaystyle \frac{\lambda }{4n}}$

1. Aufbau: Auf Glas ($n_{\text{Glas}}\approx 1,5$) eine Schicht mit dazwischenliegendem Brechungsindex (MgF₂, $n\approx 1,38$). Senkrechter Einfall; Teilreflexion an der Schichtoberseite und an der Grenze Schicht–Glas.
2. Die beiden Phasensprünge heben sich auf: Wellensatz — Reflexion am dichteren Medium springt um $\pi$ („festes Ende"), am dünneren nicht. Hier gilt $n_{\text{Luft}}<n<n_{\text{Glas}}$: beide Grenzflächen reflektieren zum dichteren Medium → beide Wellen springen um $\pi$ → die Sprünge tragen netto nichts zur Phasendifferenz bei; nur der Gangunterschied zählt.
3. Optischer Gangunterschied: Die untere Welle läuft in der Schicht hinunter und wieder hinauf — geometrisch $2d$ mehr. In der Schicht ist die Wellenlänge auf ${\lambda }_n=\lambda /n$ verkürzt (S. 4 „Wellenlänge im Medium") — auf gleicher Strecke passen mehr Wellenlängen, effektiver optischer Weg = geometrischer Weg × $n$:$$\mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}=2nd$$
4. Auslöschungsbedingung (Entspiegelung = destruktive Interferenz der Reflexe): Gangunterschied = halbzahlige Wellenlängen (Berg auf Tal). Dünnste Lösung ($k=0$):$$2nd=\frac{\lambda }{2}⟹\boxed{{\displaystyle d=\frac{\lambda }{4n}}}$$— die „Viertelwellenlängen-Schicht" (ein Viertel der Wellenlänge in der Schicht: $d={\lambda }_n/4$).
5. Probe (Auslegung auf Grün): $\lambda =550$ nm, $n=1,38$ → $d={\displaystyle \frac{550}{4\cdot 1,38}}\text{nm}\approx 99,6\text{nm}\approx 100$ nm ✓ (Skriptum: ≈100 nm).
6. Wohin geht die Energie? Das „ausgelöschte" Reflexionslicht verschwindet nicht, sondern geht in die Transmission — genau der Zweck der Vergütung. Die Bedingung gilt streng nur für ein $\lambda$ → Restreflex purpur/violett.

④ Newton'sche Ringe: $\lambda ={\displaystyle \frac{r_k^2}{kR}}$

1. Aufbau: Schwach gewölbte Sammellinse (Krümmungsradius $R$) auf planer Glasplatte; dazwischen ein nach außen dicker werdender Luftspalt (Dicke $d(r)$). Monochromatisches Licht, senkrechter Einfall, Beobachtung in Reflexion.
2. Geometrie der Spaltdicke (Kleinwinkelnäherung, explizit): Die Linsenunterseite ist eine Kugelfläche mit Radius $R$. Beim Abstand $r$ von der Achse gilt nach dem Höhensatz (rechtwinkliges Dreieck im Kreis: Quadrat der Höhe = Produkt der Hypotenusenabschnitte):$$r^2=d(2R-d)$$Wegen $d\ll R$ (μm gegen m) wird der $d^2$-Term vernachlässigt:$$r^2\approx 2Rd⟹d\approx \frac{r^2}{2R}$$
3. Phasenlage: Der $\pi$-Sprung tritt nur an der unteren Grenzfläche auf (Luft → Glas, zum dichteren Medium); oben (Glas → Luft) kein Sprung. Ein $\pi$-Sprung = zusätzliche halbe Wellenlänge → die Bedingung kippt: Bei ganzzahligem geometrischem Gangunterschied $2d$ herrscht Auslöschung (dunkle Ringe); das Zentrum $d=0$ ist dunkel.
4. Bedingung für dunkle Ringe in Reflexion:$$2d=k\lambda ,k=0,1,2,\dots$$
5. 2 und 4 kombinieren (Radius $r_k$ des $k$-ten dunklen Rings):$$2\cdot \frac{r_k^2}{2R}=k\lambda ⟹\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r_k^2}{kR}}}$$
6. Probe: $R=10$ m, gemessen $r_4=5,1$ mm beim $k=4$-ten dunklen Ring → $\lambda ={\displaystyle \frac{(5,1\cdot {10}^{-3}{)}^2}{4\cdot 10}}={\displaystyle \frac{2,60\cdot {10}^{-5}}{40}}=6,5\cdot {10}^{-7}$ m $=650$ nm ✓ — gleiche Wellenlänge wie die Gittermessung in ② (Skriptum: zwei unabhängige Methoden bestätigen einander). Blau hat kürzeres $\lambda$ → kleinere Ringradien bei gleichem $k$ → dichtere Ringe ✓.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$c$	Wellengeschwindigkeit (Vakuumlichtgeschwindigkeit $\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$, S. 1)	m/s
$\lambda$	(Vakuum-)Wellenlänge	m
${\lambda }_n$	Wellenlänge im Medium $=\lambda /n$	m
$f$	Frequenz	Hz = 1/s
$T$	Periodendauer $=1/f$	s
$d$ (②)	Gitterkonstante = Abstand benachbarter Spalte	m
${\phi }_k$	Beugungswinkel des $k$-ten Maximums	rad (°)
$k$	Ordnung $=0,1,2,\dots$	— (dimensionslos)
$\mathrm{\Delta }s$	(optischer) Gangunterschied	m
$s,D$	Abstand der Maxima am Schirm, Abstand Gitter–Schirm	m
$d$ (③④)	Schichtdicke / Luftspaltdicke	m
$n$	Brechungsindex (Schicht $\approx 1,38$, Glas $\approx 1,5$)	— (dimensionslos)
$R$	Krümmungsradius der Linse	m
$r_k$	Radius des $k$-ten dunklen Rings	m

Verknüpfungen

• ①②: Thema 13 §13.3, Thema 13 §13.5 (Gitterexperiment)
• ③④: Thema 6 §6.5, Thema 6 Newton-Ringe, Thema 13 §13.5a
• Engerer Spalt ↔ breiterer Fleck ↔ Unschärferelation: Thema 9
• ① gilt ebenso für Schall: H16