Zielformeln:

$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2,E_{\text{pot}}=mgh,W_H=\frac{1}{2}k{x}^2,P=\frac{W}{t},1\text{kWh}=3,6\cdot {10}^6\text{J}$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: Beschleunigung mit konstanter Kraft (d. h. $a=\text{konst.}$), Start aus der Ruhe ($v_0=0$); $E_{\text{pot}}=mgh$ gilt nur im homogenen Schwerefeld (nahe der Erdoberfläche, kleines $h$, $g$ als konstant betrachtet); Federenergie nur im elastischen Bereich (linearer Bereich des Hooke-Gesetzes).

★ Maturarelevant: Die Herleitungen von $E_{\text{kin}}$ und $E_{\text{pot}}$ wurden in einer echten Prüfung wörtlich verlangt („Ableitungen durchführen", Prüfungsbogen zu Thema 8).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$	Arbeit	✅ S. 2 („Arbeit")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$F=m\cdot g$	Schwerkraft (nahe Erdoberfläche)	✅ S. 2 („Schwerkraft")
$F=-k\cdot \mathrm{\Delta }x$	Hooke-Gesetz / Federkraft	✅ S. 2 („Hooke-Gesetz")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie — Zielformel selbst im Heft	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$E_{\text{pot}}=mgh$	Potentielle Energie — Zielformel selbst im Heft	✅ S. 2 („Potentielle Energie")
$E_{\text{elast}}={\displaystyle \frac{k{x}^2}{2}}$	Federenergie — Zielformel selbst im Heft	✅ S. 2 („Federenergie")
$P={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$	Leistung	✅ S. 2 („Leistung")
$v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$	Bewegungsgleichungen (gleichm. beschleunigt)	❌ nicht im Formelnheft — siehe [[Kinematik
kWh-Umrechnung	Energieeinheit	❌ nicht im Formelnheft — auswendig: $1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}$

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) ★ Kinetische Energie $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$ (Beschleunigungsarbeit in fünf Schritten)

1. Idee (Definition). $E_{\text{kin}}$ ist definiert als die Arbeit, die nötig ist, um einen Körper der Masse $m$ aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Beschleunigt werde mit konstanter Kraft $F$ (⇒ $a=\text{konst.}$, alle Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung sind anwendbar).
2. Definition der Arbeit (Formelnheft S. 2). Kraft und Weg sind parallel ($\cos 0°=1$), das Skalarprodukt wird zum Produkt:$$W=F\cdot s$$
3. Kraft einsetzen (Newton'sches Axiom, S. 2): $F=m\cdot a$, also$$W=m\cdot a\cdot s$$
4. Weg einsetzen (gleichmäßig beschleunigt, aus der Ruhe: $s=\frac{1}{2}a{t}^2$, siehe H01 B):$$W=m\cdot a\cdot \frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}m(at{)}^2$$(Im letzten Schritt wurde $a\cdot a{t}^2$ als $(at{)}^2$ geschrieben — reine Algebra.)
5. Geschwindigkeit erkennen (gleichmäßig beschleunigt, aus der Ruhe: $v=at$, siehe H01 A). $(at)$ durch $v$ ersetzen:$$\boxed{{\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2=E_{\text{kin}}}}$$Begründung jedes Schrittes: ① Definition der kinetischen Energie über die Beschleunigungsarbeit; ② Definition der Arbeit; ③ Newton'sches Axiom; ④+⑤ Kinematik der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Beachte: $E_{\text{kin}}$ ist über $v$ bezugssystemabhängig (relativ).

B) ★ Potentielle Energie $E_{\text{pot}}=mgh$ (Hubarbeit)

1. Idee (Definition). $E_{\text{pot}}$ ist definiert als die Hubarbeit, die nötig ist, um einen Körper mit konstanter Geschwindigkeit um $h$ anzuheben. Konstante Geschwindigkeit ⇒ Hubkraft gleicht genau die Schwerkraft aus, $F=F_G$ (wäre die Hubkraft größer, ginge die überschüssige Arbeit in kinetische Energie — dann wäre es keine reine „Lageenergie" mehr).
2. Schwerkraft einsetzen (Formelnheft S. 2, nahe der Erdoberfläche): $F=F_G=m\cdot g$. Näherung: $g$ wird hier als konstant behandelt — erlaubt nur für $h\ll R_E$ (von der Oberfläche bis ca. 40 km Höhe ändert sich $g$ nur um ca. 1 %).
3. Definition der Arbeit (S. 2). Kraft und Weg (senkrecht nach oben) sind parallel, Weglänge $s=h$:$$W=F\cdot s=mg\cdot h$$
4. Ergebnis. Diese Arbeit ist als Lageenergie gespeichert:$$\boxed{{\displaystyle E_{\text{pot}}=mgh}}$$Der Nullpunkt (wo $h=0$ liegt) ist frei wählbar — messbar sind physikalisch nur Energie-Differenzen. Für große Abstände (Raumfahrt) gilt stattdessen $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$, siehe H06.

C) Federenergie $W_H=\frac{1}{2}k{x}^2$ (Dreiecksfläche im F-x-Diagramm)

1. Problem benennen. Beim Spannen einer Feder ist die Kraft nicht konstant: Nach dem Hooke-Gesetz (S. 2) wächst die nötige Zugkraft linear mit der Dehnung, $F(x^{\prime })=k\cdot x^{\prime }$ (Beträge; das Minuszeichen besagt nur, dass die Federkraft der Verformung entgegenwirkt). $W=F\cdot s$ ist daher nicht direkt anwendbar.
2. Arbeit = Fläche unter der F-x-Kurve. Analog zu „Weg = Fläche im v-t-Diagramm" (H01): Man zerlegt den Spannvorgang in viele kleine Stücke; in jedem Stück ist die Kraft näherungsweise konstant und verrichtet $\approx F(x^{\prime })\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$; die Summe ist die Fläche unter der Kurve. Hier wird der Grenzwert genommen (Stückbreite $\to 0$), denn nur so wird „näherungsweise konstant" exakt.
3. Fläche berechnen. $F(x^{\prime })=k{x}^{\prime }$ ist eine Ursprungsgerade; die Fläche unter ihr von $0$ bis $x$ ist ein Dreieck: Breite $x$, Höhe $F(x)=kx$:$$W_H=\frac{1}{2}\cdot x\cdot kx$$
4. Zusammenfassen:$$\boxed{{\displaystyle W_H=\frac{1}{2}k{x}^2}}$$Diese Arbeit ist als elastische Energie in der Feder gespeichert (im Formelnheft als $E_{\text{elast}}=\frac{k{x}^2}{2}$ — dieselbe Formel).

D) Leistung $P=W/t$ und kWh-Umrechnung

1. Definition (Formelnheft S. 2): Leistung = Arbeit pro Zeit:$$P=\frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}\text{(bei gleichmäßigem Vorgang kurz }P=\frac{W}{t}\text{)}$$Einheit: $1\text{W}=1\text{J/s}$.
2. Umstellen nach der Energie. Beide Seiten mal $t$: $W=P\cdot t$ — „Leistung × Zeit = Energie".
3. kWh-Umrechnung (unabhängig nachgerechnet). kWh ist eine Energie-Einheit, keine Leistungseinheit:$$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3600000\text{J}=3,6\cdot {10}^6\text{J}✓$$

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$W$, $W_H$	Arbeit; Spannarbeit der Feder	J
$E_{\text{kin}}$	Kinetische Energie	J
$E_{\text{pot}}$	Potentielle Energie (homogenes Feld)	J
$F$	Kraft (A: Beschleunigungskraft; B: Hubkraft $=F_G$; C: Zugkraft $=k{x}^{\prime }$)	N
$F_G$	Schwerkraft	N
$m$	Masse	kg
$a$	Beschleunigung (konstant)	m/s²
$v$	Endgeschwindigkeit	m/s
$s$	Weg	m
$t$	Zeit	s
$g$	Fallbeschleunigung $=\mathrm{9,807}$ m/s² (Formelnheft S. 1; im Skript meist $9,81$)	m/s²
$h$	Hubhöhe	m
$k$	Federkonstante	N/m
$x$, $x^{\prime }$	Dehnung (Endwert; Laufvariable)	m
$P$	Leistung	W

Verknüpfungen

• Herleitung der verwendeten Kinematik $v=at$, $s=\frac{1}{2}a{t}^2$ → H01
• $E_{\text{kin}}$ und $E_{\text{pot}}$ im Zusammenspiel (Energieerhaltung) → H03
• Potentielle Energie für große Abstände ($-GMm/r$, Gravitationsenergie) → H06
• Skript: Thema 8 §8.5 (Fünf-Schritt-Herleitung, potentielle Energie, Leistung, kWh), Thema 8 §8.4 (Federenergie als Dreiecksfläche)