Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2(hf-E_A)}{m_e}}}},E_{\gamma }=hf=\frac{hc}{\lambda }$$$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h},{\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{hc}{E_A}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• Einsteins Lichtquantenbild: Licht trifft in Portionen (Photonen, je $E_{\gamma }=hf$) ein; ein Elektron absorbiert ein Photon — alles oder nichts.
• $E_{\text{kin}}=hf-E_A$ ist die maximale kinetische Energie (Elektronen an der Metall-Oberfläche); Elektronen aus der Tiefe verlieren zusätzlich $W_S$ durch Stöße (vollständige Lehrbuchform $hf=E_{\text{kin}}+W_A+W_S$).
• Elektronengeschwindigkeit nichtrelativistisch (im Beispiel $v\sim {10}^5$ m/s $\ll c$, daher ist $\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ zulässig).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$E=h\cdot f$	Photonenenergie	✅ S. 5 („$E=h\cdot f$")
$v=\lambda \cdot f$ (mit $v=c$)	Wellengeschwindigkeit	✅ S. 3 („Wellengeschwindigkeit")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	kinetische Energie	✅ S. 2 („$E_{\text{kin}}=\frac{m{v}^2}{2}$")
$hf=E_A+E_{\text{kin}}$	Einstein-Gleichung (Energiebilanz)	❌ nicht im Formelnheft — selbst hinschreiben (Energieerhaltung: erhalten = verbraucht + Rest)
$1\text{eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ J	eV↔J-Umrechnung	❌ steht so nicht im Heft — aus $W=U\cdot Q$ (S. 4) und $e$ (S. 1) selbst herstellen: $1\text{eV}=e\cdot 1\text{V}$
$h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$ Js; $m_e=\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}$ kg; $e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C; $c=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s	Konstanten	✅ S. 1 (Konstanten)

Herleitung (Schritt für Schritt)

1. Energie eines einzelnen Photons aufschreiben (Planck/Einstein: Lichtenergie kommt in Portionen, jede Portion hängt nur von der Frequenz ab — S. 5):$$E_{\gamma }=h\cdot f$$
2. Energiebilanz aufstellen (Einstein-Gleichung) (Energieerhaltung: das Photon übergibt seine gesamte Energie auf einmal an ein Elektron; zuerst wird die materialabhängige Austrittsarbeit $E_A$ bezahlt, um das Elektron aus dem Metall zu lösen, der Rest wird kinetische Energie. „Erhalten = verbraucht + Rest"):$$\boxed{{\displaystyle hf=E_A+E_{\text{kin}}}}$$
3. Nach der kinetischen Energie auflösen (beidseitig $E_A$ subtrahieren; nur für $hf>E_A$ treten Elektronen aus — sonst Fall 1: egal wie hell, kein Elektron):$$E_{\text{kin}}=hf-E_A$$
4. $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ einsetzen und nach $v$ auflösen (Energie­formel von S. 2 für das austretende Elektron; beide Seiten mal $\frac{2}{m_e}$, Wurzel ziehen. Ergebnis ist die Maximalgeschwindigkeit — Oberflächenelektronen):$$\frac{1}{2}{m}_e{v}_{\text{max}}^2=hf-E_A⟹\boxed{{\displaystyle v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{2(hf-E_A)}{m_e}}}}$$
5. Grenzfrequenz: $E_{\text{kin}}=0$ setzen (Grenzfall 2: das Photon reicht gerade für die Austrittsarbeit, das Elektron tritt mit $v=0$ aus. $h{f}_{\text{Grenz}}=E_A$ nach $f$ auflösen):$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h}$$
6. In die Grenzwellenlänge umrechnen ($c=\lambda f$ von S. 3 nach $\lambda$ auflösen, Schritt 5 einsetzen; Achtung: $f<f_{\text{Grenz}}\iff \lambda >{\lambda }_{\text{Grenz}}$ — Licht mit längerer Wellenlänge löst keine Elektronen aus):$${\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{c}{f_{\text{Grenz}}}=\frac{hc}{E_A}$$
7. Allgemeine Umrechnung Photonenenergie ↔ Wellenlänge ($f=c/\lambda$ in Schritt 1 einsetzen — die in der Spektroskopie üblichste Form):$$E_{\gamma }=hf=\frac{hc}{\lambda }$$

Beispiel 1 ★: Grenzfrequenz und Grenzwellenlänge von Zink (mit Probe)

Zink: $E_A\approx 4,3$ eV. Zuerst die Einheit umrechnen (eV→J, mal $e$):

$$E_A=4,3\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=6,89\cdot {10}^{-19}\text{J}$$$$f_{\text{Grenz}}=\frac{E_A}{h}=\frac{6,89\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}\approx 1,04\cdot {10}^{15}\text{Hz}$$$${\lambda }_{\text{Grenz}}=\frac{c}{f_{\text{Grenz}}}=\frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{1,04\cdot {10}^{15}}\approx 2,9\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 290\text{nm}✓$$

Bereits im UV — das gesamte sichtbare Licht (ca. 1,6–3,1 eV) liegt unter 4,3 eV, deshalb wirkt bei der Zinkplatte nur UV (rotes Licht hilft auch bei beliebiger Helligkeit nicht).

Beispiel 2 ★: Geschwindigkeit der austretenden Elektronen (mit eV↔J Schritt für Schritt)

UV mit $\lambda =250$ nm auf Zink:

1. $f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{2,5\cdot {10}^{-7}}}=1,20\cdot {10}^{15}$ Hz
2. $hf=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot 1,20\cdot {10}^{15}=7,95\cdot {10}^{-19}\text{J}\widehat{=}{\displaystyle \frac{7,95\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}}}\approx 5,0$ eV
3. $E_{\text{kin}}=hf-E_A=5,0-4,3=0,7\text{eV}$; zurück in J: $E_{\text{kin}}\approx 0,66\text{eV}\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=1,06\cdot {10}^{-19}$ J
4. $v_{\text{max}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot 1,06\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}}}}=\sqrt{2,33\cdot {10}^{11}}\approx 4,8\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}✓$ (wie im Skript; $v/c\approx 0,16\mathrm{\%}$ — nichtrelativistische Näherung zulässig)

Beispiel 3 ★: Skript-Beispiel nachgerechnet (11,7 → 9,15 eV → ≈490 nm)

Ein Elektron fällt von $E_3=11,7$ eV auf $E_1=9,15$ eV zurück und emittiert ein Photon:

1. $\mathrm{\Delta }E=11,7-9,15=2,55\text{eV}=2,55\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}=4,09\cdot {10}^{-19}$ J
2. $f={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }E}{h}}={\displaystyle \frac{4,09\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}}\approx 6,2\cdot {10}^{14}$ Hz
3. $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8}{6,17\cdot {10}^{14}}}\approx 4,9\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 490\text{nm}✓$ (exakt 486 nm; das Skript rundet mit $c\approx 3\cdot {10}^8$ auf 490 nm — blaugrünes sichtbares Licht, konsistent damit, dass 2,55 eV im sichtbaren Bereich liegt)

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$E_{\gamma }$	Energie eines einzelnen Photons	J (üblich: eV)
$f$	Frequenz des Lichts	Hz = 1/s
$\lambda$	Wellenlänge des Lichts	m
$E_A$	Austrittsarbeit (Materialkonstante; Zink ≈ 4,3 eV, Skriptwert)	J (üblich: eV)
$E_{\text{kin}}$	(maximale) kinetische Energie des austretenden Elektrons	J (üblich: eV)
$v_{\text{max}}$	Maximalgeschwindigkeit des austretenden Elektrons	m/s
$f_{\text{Grenz}}$	Grenzfrequenz (darunter kein Elektronenaustritt)	Hz
${\lambda }_{\text{Grenz}}$	Grenzwellenlänge (darüber kein Elektronenaustritt)	m
$h$	Planck'sches Wirkungsquantum $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$ Js (Formelnheft S. 1)	J·s
$m_e$	Elektronenmasse $=\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}$ kg (Formelnheft S. 1)	kg
$e$	Elementarladung $=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}$ C (Formelnheft S. 1; Umrechnungsfaktor eV↔J)	C
$c$	Vakuumlichtgeschwindigkeit $=\mathrm{2,997}9\cdot {10}^8$ m/s (Formelnheft S. 1)	m/s

Verknüpfungen

• H11 — Messung von $e$; ohne $e$ keine eV↔J-Umrechnung.
• Thema 9 §9.2 — Skript-Fassung: drei falsche Vorhersagen der klassischen Wellentheorie, Tabelle der drei Fälle, Zink-Beispiel und $W_S$-Nachfrage.
• Thema 13 §13.2 — Hallwachs-Schulversuch (Elektroskop + Glasplatten-Kontrolle).
• Thema 9 §9.2 Emission und Absorption — Kontext von Beispiel 3 (diskrete Niveaus und Linienspektren).