Zielformeln:

$$v_F=\sqrt{\frac{2GM}{r}},v_F=\sqrt{2}{v}_{\text{Kreis}},E_{\text{ges}}=-\frac{GMm}{2r}$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: nur die Gravitation des einen Himmelskörpers wirkt (Luftwiderstand und andere Körper vernachlässigt); $m\ll M$ (Zentralkörper ruht); Definition der Flucht: Ein mit genau $v_F$ startender Körper hat bei $r\to \mathrm{\infty }$ genau die Geschwindigkeit $0$ (nach unendlich langer Zeit).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$W=G\cdot M\cdot m\cdot ({\displaystyle \frac{1}{r_1}}-{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$	Gravitationsenergie (Hubenergie von $r_1$ nach $r_2$ im Gravitationsfeld) — der Schlüssel dieser Herleitung, steht genau so im Heft!	✅ S. 2 („Gravitationsenergie")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz (Hintergrund)	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$v_{\text{Kreis}}=\sqrt{GM/r}$	Kreisbahngeschwindigkeit (für die $\sqrt{2}$-Beziehung und $E_{\text{ges}}$)	❌ nicht im Formelnheft — siehe [[Satellit Kreisbahn
$v_F=\sqrt{2GM/r}$, $E_{\text{ges}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$	Fluchtgeschwindigkeit / Gesamtenergie der Bahn	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung selbst herleiten (siehe unten)
Energieerhaltung $E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{konst.}$	Energieerhaltungssatz	❌ nicht im Formelnheft — selbst formulieren

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) Die zum Entkommen nötige Hubenergie (Grenzwert der Gravitationsenergie aus dem Formelnheft)

1. Formel aus dem Heft anschreiben (Formelnheft S. 2, „Gravitationsenergie"): Die Energie, um die Masse $m$ im Feld von $M$ von $r_1$ nach $r_2$ zu bringen, ist$$W=G\cdot M\cdot m\cdot (\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$$(Sie berücksichtigt bereits, dass die Gravitation mit dem Abstand abnimmt — der exakte Ersatz für $mgh$ bei großen Abständen.)
2. Fluchtsituation einsetzen. Start: Oberfläche des Himmelskörpers, $r_1=r$; Ziel: „dem Gravitationsfeld vollständig entkommen" = ins Unendliche, $r_2\to \mathrm{\infty }$.
3. Grenzwert nehmen. Hier wird der Grenzwert $r_2\to \mathrm{\infty }$ genommen, weil die Flucht per Definition das Erreichen des Unendlichen bedeutet; dabei gilt ${\displaystyle \frac{1}{r_2}}\to 0$:$$W_{\mathrm{\infty }}=GMm(\frac{1}{r}-0)=\frac{GMm}{r}$$Das ist die gesamte Hubenergie von der Oberfläche bis ins Unendliche — eine endliche Zahl! (Nur deshalb ist Flucht überhaupt möglich.)

B) Fluchtgeschwindigkeit $v_F=\sqrt{2GM/r}$ (Energiemethode)

1. Energiebilanz. Beim Start hat der Körper nur kinetische Energie $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}_F^2$; im Unendlichen ist per Definition $v=0$ ⇒ die kinetische Energie bezahlt die Hubenergie $W_{\mathrm{\infty }}$ genau (nicht mehr — sonst bliebe Restgeschwindigkeit; nicht weniger — sonst kehrte der Körper um).
2. Gleichsetzen (Energieerhaltung):$$\frac{1}{2}m{v}_F^2=\frac{GMm}{r}$$
3. Masse $m$ kürzen (beide Seiten durch $m$, $m>0$) — die Fluchtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des Raumschiffs:$$\frac{v_F^2}{2}=\frac{GM}{r}$$
4. Beide Seiten mal 2:$$v_F^2=\frac{2GM}{r}$$
5. Wurzel ziehen (positive Wurzel):$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{\frac{2GM}{r}}}}$$
6. Rechenbeispiel (unabhängig nachgerechnet, Werte von S. 1): Erdoberfläche, $r=R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m:$$v_F=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,371}\cdot {10}^6}}=\sqrt{\mathrm{1,251}4\cdot {10}^8}\approx 11187\text{m/s}\approx 11,2\text{km/s}✓$$(= zweite kosmische Geschwindigkeit; Mond ca. $2,4$ km/s. Das Skript erhält dieselbe Formel über die vereinfachte $mgh$-Rechnung mit $h=r$ — und merkt selbst an: Die strenge Variante ist genau die hiesige Energiemethode „Gesamtenergie an der Oberfläche = 0".)

C) $v_F=\sqrt{2}{v}_{\text{Kreis}}$ (Beziehung zur Kreisbahngeschwindigkeit)

1. Beide Formeln nebeneinander schreiben: Kreisbahn (H05): $v_{\text{Kreis}}^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$; Flucht (B, Schritt 4): $v_F^2={\displaystyle \frac{2GM}{r}}$.
2. Dividieren (${\displaystyle \frac{GM}{r}}\ne 0$ kürzt sich):$$\frac{v_F^2}{v_{\text{Kreis}}^2}=2$$
3. Wurzel ziehen:$$\boxed{{\displaystyle v_F=\sqrt{2}\cdot v_{\text{Kreis}}}}$$Kontrolle: $7,9\cdot \sqrt{2}\approx 11,2$ km/s ✓ (erste → zweite kosmische Geschwindigkeit).

D) Gesamtenergie der Kreisbahn $E_{\text{ges}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

1. Potentielle Energie für große Abstände anschreiben. Mit dem Nullpunkt $E_{\text{pot}}=0$ im Unendlichen ist die potentielle Energie bei $r$ das Negative der noch fehlenden Hubenergie — also das Negative von A, Schritt 3:$$E_{\text{pot}}=-\frac{GMm}{r}$$(Das Minuszeichen bedeutet gebunden: energetisch tiefer als im Unendlichen, im Potentialtopf.)
2. Gesamtenergie anschreiben (kinetisch + potentiell):$$E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}$$
3. Kreisbahngeschwindigkeit einsetzen (H05: $v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}$):$$E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m\cdot \frac{GM}{r}-\frac{GMm}{r}=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}$$
4. Auf gemeinsamen Nenner bringen ($\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$):$$\boxed{{\displaystyle E_{\text{ges}}=-\frac{GMm}{2r}}}$$Die Gesamtenergie der Kreisbahn ist negativ — der Satellit ist gebunden. (Nebenbei: $|E_{\text{pot}}|=2E_{\text{kin}}$, typisch für gebundene Bahnen.)

E) Vorzeichen von $E_{\text{ges}}$ ↔ Bahnform (Dreiteilung)

Aus dem Vorzeichen von $E_{\text{ges}}=\frac{1}{2}m{v}^2-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$ liest man die Bahnform direkt ab:

$E_{\text{ges}}$	Physikalische Bedeutung	Bahnform
$<0$	kinetische Energie reicht nicht für die Fluchtrechnung — Körper gebunden im Potentialtopf	Kreis / Ellipse
$=0$	genau $v=v_F$ (B, Schritt 2 ist genau der Fall $E_{\text{ges}}=0$)	Parabel
$>0$	$v>v_F$, im Unendlichen bleibt kinetische Energie übrig	Hyperbel

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$v_F$	Fluchtgeschwindigkeit (Start an der Oberfläche)	m/s
$v_{\text{Kreis}}$, $v$	Kreisbahngeschwindigkeit in gleicher Höhe; Momentangeschwindigkeit	m/s
$W$, $W_{\mathrm{\infty }}$	Hubenergie ($r_1\to r_2$); Hubenergie bis ins Unendliche	J
$E_{\text{kin}}$, $E_{\text{pot}}$, $E_{\text{ges}}$	kinetische Energie; potentielle Energie (Nullpunkt im Unendlichen); Gesamtenergie	J
$m$	Masse des Raumschiffs/Körpers (kürzt sich in B)	kg
$M$, $M_E$	Masse des Zentralkörpers; Erdmasse $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg (Formelnheft S. 1)	kg
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg² (S. 1)	N·m²/kg²
$r$, $r_1$, $r_2$	Abstand vom Mittelpunkt des Himmelskörpers (Start an der Oberfläche: $r=R_E$); Start-/Zielabstand	m
$R_E$	Erdradius $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m (S. 1)	m

Verknüpfungen

• Herleitung der Kreisbahngeschwindigkeit $v_{\text{Kreis}}=\sqrt{GM/r}$ (Eingang in C und D) → H05
• Dieselbe Energiemethode für kleine Höhen ($v=\sqrt{2gh}$, Masse kürzt sich ebenfalls) → H03
• Begriff der potentiellen Energie und Nullpunktswahl → H02
• Skript: Thema 2 §2.4 (Definition, Energie-Herleitung, $\sqrt{2}$-Beziehung, zweite kosmische Geschwindigkeit), Thema 2 §2.5 (Dreiteilung, $E_{\text{pot}}=-GMm/r$), Thema 11 §11.7 ($v_F=c$ ⇒ Schwarzschildradius)